Verzia z 10:43, 1. júl 2017 upraviť MatSuBot (diskusia \| príspevky) Boti 2 457 editací d Robot: odstranění starých interwiki odkazů; kozmetické zmeny ← Predchádzajúca úprava		Verzia z 20:47, 4. február 2018 upraviť vrátiť Kizivat (diskusia \| príspevky) 21 editací doplnenie; Časť "Intuícia" bola preložená z anglickej verzie článku na wikipédii "Group homomorphism". Značka: editor wikitextu 2017 Ďalšia úprava →
Riadok 1: '''Homomorfizmus grúp''' alebo '''morfizmus grúp''' alebo '''homomorfné zobrazenie grúp''' <math>(''G'', )</math> a <math>(''H'',o\circ)</math> je [[zobrazenie]] ''<math>f'': ''G'' →\longrightarrow ''H''</math>, pri ktorom pre všetky prvky ''<math>x'', ''y'' z\in ''G''</math> platí ''<math>f''(''x'' ''y'') = ''f''(''x'')\circ ~~o ''~~f''(''y'')</math>, pričom <math></math> je operácia grupy <math>G</math> a o<math>\circ</math> operácia grupy <math>H</math> (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu). Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homorfizmu <math>f</math>: ~~== Jadro homomorfizmu ==~~ <math>f(1_G) = 1_H</math> (daný homomorfizmus zobrazí [[neutrálny prvok]] grupy <math>G</math> na neutrálny prvok grupy <math>H</math>), Nech <math>f : (G, \bullet) \rightarrow (H, )</math> je homomorfizmus grúp. Potom▼ <math>f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}</math> (daný homomorfizmus zobrazí [[Inverzný prvok\|inverzie]] prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)<ref>{{Citácia elektronického dokumentu\|priezvisko=Švábenský\|meno=Valdemar\|titul=Nauč a matiku - abstraktná algebra\|url=http://www.elea.sk/assets/abstraktna-algebra-ucebnica.pdf\|dátum vydania=28.8.2015\|dátum prístupu=4.2.2018\|vydavateľ=}}</ref> ~~podgrupa <math>f^{-1} \left( \left\{ 1_H \right\} \right) </math> sa nazýva~~ '''jadro homomorfizmu''' f; zvyčajne sa označuje <math>Ker(f)</math> (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern).▼ == Intuícia == ~~Vzorcom:~~ Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia <math>f: G \longrightarrow H</math> je homomorfizmus ak pre každé <math>x,y,z \in G</math> také, že <math> x * y = z</math> máme <math>f(x) \circ f(y) = f(z)</math> Inými slovami, grupa <math>H</math> má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako <math>G</math> a homomorfizmus <math>h</math> ju zachováva. ~~<math>Ker(f) = \left\{ g \in G; f(g) = 1_H \right\}</math>~~ == Typy homomorfizmov grúp == '''Monomorfizmus''' je homomorfizmus grúp, ktorý je [[Prosté zobrazenie\|injektívny]]. '''Epimorfizmus''' je homomorfizmus grúp, ktorý je [[Surjektívne zobrazenie\|surjektívny]]. '''[[Izomorfizmus grúp\|Izomorfizmus]]''' je homomorfizmus, ktorý je [[Bijektívne zobrazenie\|bijektívny]] (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami <math>G</math> a <math>H</math> existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme <math>G \cong H</math>. Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov. == Obraz a jadro == ▲Nech <math>f : (G, ~~\bullet~~) \rightarrow (H, *\circ)</math> je homomorfizmus grúp. ~~Potom~~ ▲'Potom množina <math>f^{-1} \left( \left\{ 1_H \right\} \right) </math> sa nazýva ''jadro homomorfizmu''' <math>f;</math>. zvyčajne sa označuje <math>Ker(f)</math> (z anglického slova ''kernel'', respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne <math>Ker(f) = \left\{ g \in G\| f(g) = 1_H \right\}</math>. ''Obrazom homomorfizmu'' <math>f</math> nazveme množinu <math>Im(f)=f(G)=\{f(x)\|x \in G\}</math> (označenie <math>Im(f)</math> pochádza z anglického slova ''image''). == Zdroje ==

Homomorfizmus grúp: Rozdiel medzi revíziami