Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 48 bajtov ,  pred 2 rokmi
d
Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap
d (Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap)
 
'''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''' je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]].
 
Hausdorffova miera (ďalej označená <math>\boldmathbf{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoľuje merať isté „veľmi malé“ podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\boldmathbf{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\boldmathbf{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\boldmathbf{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
 
== Definícia Hausdorffovej miery ==
'''Definícia''': Nech <math>\boldmathbf{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme:
 
<math>(i)\boldmathbf{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},</math>
 
kde
je obyčajná gamma funkcia.
 
<math>\boldmathbf(ii)</math>Pro <math>\boldmathbf{A}</math> a <math>\boldmathbf{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:
 
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math>
<math>\boldmathbf{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>.
 
== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie ==
<math>\boldmathbf{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, nie je ale Radonova miera.
 
Z toho vyplýva toto:
 
<math>(i)\boldmathbf{H}^s_\delta</math> je miera.
 
<math>(ii)\boldmathbf{H}^s</math> je miera.
 
<math>(iii)\boldmathbf{H}^s</math> je Borelova miera.
 
Ďalšie zaujímavé vlastnosti:
 
<math>(i)\boldmathbf{H}^0</math> je čítacia miera.
 
<math>(ii)\boldmathbf{H}^1=\boldmathbf{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\boldmathbf{L}^1</math> je Lebesgueova miera.
 
<math>(iii)\boldmathbf{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\boldmathbf{s>n}</math>.
 
<math>(iv)\boldmathbf{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \boldmathbf{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
 
<math>(v)\boldmathbf{H}^s(L(A))=\boldmathbf{H}^s(A)</math> pre všetky afinné izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
 
== Literatúra ==