Kmitanie: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 4 098 bajtov ,  pred 2 rokmi
d
Revízia 6895397 používateľa 87.197.2.33 (diskusia) bola vrátená
Značky: vizuálny editor školská IP odstránenie sekcie
d (Revízia 6895397 používateľa 87.197.2.33 (diskusia) bola vrátená)
Značka: vrátenie
[[Súbor:Simple harmonic oscillator.gif|right|thumb|Kmitajúce závažie na pružine je typickým príkladom jednoduchého oscilátora]]
'''Kmitanie''' alebo '''oscilácia''' je [[pohyb]] [[fyzikálna sústava|fyzikálnej sústavy]] (napr. [[hmotný bod|hmotného bodu]]), pri ktorom sa systém po vychýlení vždy vráti do rovnovážnej polohy. Jedna zmena v rámci kmitania sa nazýva aj '''kmit''' (časť kmitavého pohybu, pri ktorom hmotný bod prejde všetkými polohami a vráti sa späť odkiaľ vyšiel), prechod z jednej krajnej polohy do opačnej sa niekedy nazýva [[kyv]]. [[Perióda]] je čas, za ktorý sústava vykoná jeden kmit, [[frekvencia]] je počet kmitov za jednu sekundu. Pre kmitavý pohyb je typické, že sa striedavo mení [[kinetická energia]] systému na [[potenciálna energia|potenciálnu]] a naopak.
 
[[Amplitúda]] <math>x_m</math> je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy <math>u_0</math>.
 
== Harmonický kmitavý pohyb ==
<br />
Harmonický kmitavý pohyb je typický tým, že priebeh oscilujúcej veličiny je popísaný [[sínusoida|sínusoidou]]. Možno to vyjadriť priamou úmerou
 
:<math>x(t)\propto{\sin{\omega t}}</math>
:
 
Väčšina kmitavých pohybov je harmonická v prvom priblížení pre malé výchylky. Napríklad pohyb kyvadla je tým presnejšie popísaný rovnicami pre harmonický kmitavý pohyb, čím je menšia maximálna výchylka závažia od zvislice. Väčšinou sa udáva, že dostatočnú presnosť dosiahneme pre výchylky menšie ako 5°.
 
Aby pohyb telesa, resp. časový vývoj systému bol harmonický kmitavý, stačí aby bola splnená pohybová rovnica
 
:<math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-k x</math>
 
kde <math>x</math> je časom sa meniaca výchylka z rovnovážnej polohy a <math>k</math> je kladná konštanta úmernosti. Riešenie tejto [[diferenciálna rovnica|diferenciálnej rovnice]] je
 
:<math>x(t)=x_m\sin{(\omega t+\phi_0)}</math>
 
kde <math>x_m</math> je [[amplitúda]] kmitov a <math>\phi_0</math> [[fázový posun]], obe konštanty v rovnici možno určiť z počiatočných podmienok. Ďalší parameter v rovnici je už spomínaná uhlová frekvencia <math>\omega</math>, ktorá je s konštantou úmernosti previazaná jednoduchým vzťahom
 
:<math>\omega=\sqrt{k}</math>
 
Z toho je zrejmé, že pre frekvenciu <math>f</math> a periódu <math>T</math> oscilácii platia rovnice
 
:<math>f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\sqrt{k}}{2\pi}</math>
 
:<math>T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\sqrt{k}}</math>
 
== Analógia k pohybu po kružnici ==
[[Súbor:Angularvelocity.png|right]]
Nech sa [[hmotný bod]] pohybuje po kružnici ako na obrázku vpravo konštantnou uhlovou rýchlosťou <math>\omega</math>, pričom
 
:<math>\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}</math>
 
Pre stredový uhol teda platí <math>\theta=\omega t+\theta_0</math>, kde <math>\theta_0</math> je uhol prejdený v čase <math>t=0</math> a teda je určený počiatočnými podmienkami. Ak je polomer [[kružnica|kružnice]] <math>R</math>, tak potom pre okamžité [[súradnica|súradnice]] hmotného bodu platia rovnice
 
:<math>x(t)=R\cos{(\omega t+\theta_0)}</math>
 
:<math>y(t)=R\sin{(\omega t+\theta_0)}</math>
 
Ak sa bližšie pozrieme na rovnicu pre ypsilonovú súradnicu hmotného bodu, všimneme si, že je rovnaká ako rovnica popisujúca harmonický kmitavý pohyb, ktorého amplitúda je rovná polomeru <math>R</math> kružnice, uhlová frekvencia je rovná uhlovej rýchlosti <math>\omega</math> hmotného bodu a fázové posuny sú rovnaké. Tento harmonický kmitavý pohyb je možné aj pozorovať jednoduchým experimentom. Ak systém na obrázku zľava osvetlíme rovnobežnými svetelnými lúčmi, na [[tienidlo|tienidle]] postavenom vpravo od systému bude konať tieň hmotného bodu naozaj harmonický kmitavý pohyb.
 
== Energia oscilujúceho systému ==
Pre oscilujúci systém je typické, že sa striedavo premieňa potenciálna energia na kinetickú a naopak. Ak je pravidelne sa meniaca výchylka <math>x</math> a ak [[derivácia|časovú deriváciu]] zjednodušene označíme bodkou nad derivovanou veličinou, tak platí
 
:<math>E_p=\frac{1}{2}K^*x^2</math>
 
:<math>E_k=\frac{1}{2}M^*\dot{x}^2</math>
 
kde <math>K^*</math> označuje [[tuhosť]] systému. Istým spôsobom hovorí o tom, ako veľmi je ťažké vychýliť teleso z rovnovážnej polohy a <math>M^*</math> hovorí o zotrvačných schopnostiach systému.
 
Ak sa nám podarí výpočtom určiť hodnoty veličín <math>K^*</math> a <math>M^*</math>, potom je veľmi jednoduché určiť charakteristiky kmitavého pohybu. S uhlovou frekvenciou sú vždy zviazané vzťahom
 
:<math>\omega=\sqrt{\frac{K^*}{M^*}}</math>
 
Pri harmonickom kmitavom pohybe, kde nedochádza k žiadnym stratám energie v dôsledku trenie a iných odporových síl, platí [[zákon zachovania energie|zákon zachovania mechanickej energie]], teda súčet kinetickej a potenciálnej energie oscilátora je rovný jeho celkovej energii, ktorej hodnota sa počas oscilácií nemení.
 
:<math>E_p+E_k=E=\mathrm{const}</math>
 
== Jednoduché oscilátory ==