Verzia z 18:40, 23. júl 2019 upraviť Lofty abyss (diskusia \| príspevky) 137 editací d Reverted 1 edit by 149.200.110.74 (talk) to last revision by 185.133.63.10. (TW) Značka: vrátenie ← Predchádzajúca úprava		Verzia z 16:44, 12. december 2019 upraviť vrátiť 178.40.137.38 (diskusia) 😎😎😎😎 Značka: vizuálny editor Ďalšia úprava →
Riadok 1: ====== '''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina\|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie\|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť\|vzdialenosti]] a [[uhol\|uhly]]. ======▼ ~~[[Súbor:Commonbuckeye.JPG\|náhľad\|Osová súmernosť v prírode]]~~ ▲'''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina\|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie\|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť\|vzdialenosti]] a [[uhol\|uhly]]. == Veta == Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť\|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. ▼ ~~Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'.~~ ▲==== Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť\|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'. ==== [[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg\|thumb\|250px\|Osová súmernosť\|alt=Súmernosť]] [[Súbor:Symmetry.jpg\|250px\|right\|thumb\|Príklady osí súmerností objektov]] ==== '''Osová súmernosť''' [[rovina\|roviny]] alebo priestoru s [[priamka\|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)\|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka\|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>\|SA\| = \|SA^\prime\|</math><ref>{{Citácia elektronického dokumentu \| priezvisko = J. Smida, J. Šedivý, J. Lukátšová, J. Vocelka \| meno = Řádek 20 ⟶ 19: \| jazyk = slovenský \|isbn=80-08-00340-5 }}</ref> ==== == Vlastnosti == ==== [[geometrický útvar\|Objekt]] (či už na [[priamka\|priamke]], v [[rovina\|rovine]] alebo v [[priestor (geometria)\|priestore]]) označujeme za '''osovo súmerný''', ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame '''os objektu'''. ==== * Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. ▼ * Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. ▼ ▲* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. * Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>\|SA\| = const + \|SA^\prime\|</math>▼ * Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)\|involúciou]].▼ ▲==== Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. ==== Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).▼ * Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť\|invariantn]]á.▼ ▲==== Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>\|SA\| = const + \|SA^\prime\|</math> ==== Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz\|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie\|identita]].▼ * Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.▼ ▲==== Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)\|involúciou]]. ==== ▲=== Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o). === ▲==== Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť\|invariantn]]á. ==== ▲==== Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz\|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie\|identita]]. ==== ▲==== Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak. ==== Osová súmernosť je v priestore zhodná s [[rotácia (geometria)\|otočením]] o 180 stupňov podľa rovnakej osi. ==== Body ležiace na osi súmernosti sú [[samodružný bod\|samodružnými bodmi]]. Všetky priamky [[kolmosť\|kolmé]] k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu \| priezvisko = F. Jirásek, J. Benda \| meno = Řádek 45 ⟶ 55: \| jazyk = český \|isbn=80-86929-02-7 }}</ref> ==== ==== Príklad ==== ==== Všetky pravidelné [[mnohouholník]]y sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. [[rovnostranný trojuholník]] má tri osi súmernosti, [[štvorec]] štyri, pravidelný [[šesťuholník]] šesť. ==== * Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.▼ * [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník\|rovnostranný]], má jednu os súmernosti.▼ ▲==== Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou. ==== Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.▼ * [[Hyperbola (matematika)\|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.▼ ▲==== [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník\|rovnostranný]], má jednu os súmernosti. ==== [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.▼ * [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu▼ ▲==== Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný. ==== ▲==== [[Hyperbola (matematika)\|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov. ==== ▲==== [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru. ==== ▲==== [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu \| priezvisko = M. Billich - M. Trenkler \| meno = Řádek 66 ⟶ 83: \| jazyk = slovenský \|isbn=978-80-561-0058-5 }}</ref> ==== ==== Referencie ==== {{Referencie}} ==== Pozri aj ==== * [[Stredová súmernosť]]▼ ==== [[~~Rovinná~~Stredová súmernosť]] ==== [[Zhodné zobrazenie]]▼ ▲==== [[~~Stredová~~Rovinná súmernosť]] ==== ▲==== [[Zhodné zobrazenie]] ==== [[Kategória:Geometria]]

Osová súmernosť: Rozdiel medzi revíziami