Algebrická štruktúra: Rozdiel medzi revíziami

Odobraných 762 bajtov ,  pred 1 rokom
→‎Aditívna nocácia: Oprava preklepu
(→‎Aditívna nocácia: Oprava preklepu)
V matematike, presnejšie v [[Abstraktná algebra|abstraktnej algebre]], je '''algebrická štruktúra''' (iné názvy: '''algebra''', '''algebrický systém''', staršie '''algebraická štruktúra''', '''algebraický systém''') označenie pre [[množina|množinu]] (nazývanú '''nosná množina''') spolu s jednou alebo viacerými operáciami definovanými na tejto množine, pričom musí byť splnený nejaký súbor [[axióma|axiómov]].<ref>P.M. Cohn. (1981) ''Universal Algebra'', Springer, p. 41.</ref>
 
Algebrická štruktúra na množine A je teda daná dvoma množinami (môže sa definovať ako dvojica týchto množín):
# Množinou operácií na množine A (aj táto množina môže byť nekonečná).
 
Príklady algebraických štruktúr zahŕňajú [[Grupa (matematika)|grupy]], [[okruh (algebra)|okruhy]], [[pole (algebra)|pole]], či [[Zväz (matematika)|zväzy]]. Zložitejšie štruktúry môžu byť definované predstavením viacerých operácií, rôznymi nosnými množinami, alebo zamieňaním definujúcich axióm. Príkladom komplexnejšej algebraickej štruktúry je [[vektorový priestor]].
 
Vlastnosti špecifických algebraických štruktúr sa študujú v abstraktnej algebre. Všeobecná teória algebraických štruktúr bola formalizovaná odborom [[univerzálna algebra]].
 
== Úvod ==
Sčítanie a násobenie na číslach sú prototypickým príkladom operácií, ktoré kombinujú dva prvky z množiny na vyprodukovanie tretieho. Tieto operácie spĺňajú niektoré z algebraických vlastností (viď [[Binárna operácia#Vlastnosti binárnych operácií|vlastnosti binárnych operácií]]). Napríklad ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' a ''a''(''bc'') = (''ab'')''c'' sú obe príkladom [[Asociatívnosť|asociativity]] operácií sčítania, resp. násobenia. Ďalej ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'', a ''ab'' = ''ba'' sú príkladmi [[Komutatívnosť|komutativity]]. Mnoho systémov študovaných matematikou má nad sebou definované operácie, ktoré majú niektoré (nie zákonite všetky) z takýchto vlastností.
 
Matematici množiny spolu s operáciami, ktoré spĺňajú niektoré takéto vlastnosti pomenovávajú a študujú ich ako algebraické štrutúry. Keď pre nejaký nový problém je možné ukázať, že spĺňa vlastnosti niektorej algebraickej štruktúry, všetka práca, ktorá bola v tejto kategórii urobená, môže byť aplikovaná aj na nový problém.
 
Vo všeobecnosti môžu algebraické štruktúry obsahovať ľubovoľný počet množín a operácií z rôznou [[Árnosť|aritou]], tu sa však budeme zameriavať na algebraické štruktúry s [[Binárna operácia|binárnymi operáciami]] nad jednou množinou.
 
== Druhy/príklady ==
Nech <math>G</math> je množina a <math>\circ</math> je binárna operácia na množine <math>G</math>.
 
*'''[[Grupoid]]''' je usporiadaná dvojica <math>(G,\circ)</math>.
*'''[[Asociatívny grupoid|Pologrupa]]''' (alebo asociatívny grupoid) je grupoid, v ktorom je operácia <math>\circ</math> [[Asociatívnosť|asociatívna]].
*'''[[Monoid]]''' je pologrupa s [[Neutrálny prvok|neutrálnym prvkom]] <math>e\in G</math>
*'''[[Grupa (matematika)|Grupa]]''' je monoid, v ktorom má každý prvok [[Inverzný prvok|inverziu]].
 
Vyššie uvedené štruktúry sa nazývajú komutatívne ak operácia <math>\circ</math> je [[Komutatívnosť|komutatívna]].
 
=== Okruhové štruktúry ===
Nech <math>R</math> je množina a <math>+</math> a <math>\cdot</math> sú binárne operácie na množine <math>R</math>.
 
*'''[[Okruh (algebra)|Okruh]]''' je trojica <math>(R,+,\cdot)</math>, kde <math>(R,+)</math> je komutatívna grupa (tzv. [[Abelovská grupa]]), <math>(R,\cdot)</math> je [[monoid]] a pre všetky <math>a,b,c \in R</math> platí
**<math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math> (ľavá [[Distributívnosť|distributivita]]) a
**<math>(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)</math> (pravá [[Distributívnosť|distributivita]]).
*'''Komutatívny okruh''' je taký okruh, že [[monoid]] <math>(R,\cdot)</math> je komutatívny.
*'''Triviálny okruh''' je okruh <math>(\{0\},+,\cdot)</math> (teda okruh s nosnou množinou velkosti 1).
*'''[[Obor integrity]]''' je taký netriviálny komutatívny okruh, že pre všetky <math>a,b \in R</math> platí: <math>a,b \not= 0 \Rightarrow a \cdot b \not=0</math> (t.j. práve keď <math>(R^*,\cdot)</math> je grupoid).
*'''[[Teleso (algebra)|Teleso]]''' je netriviálny komutatívny okruh, ktorého každý nenulový prvok je invertibilný aj vzhľadom k druhej operácií tohto okruhu (t.j. okruh <math>(R,+,\cdot)</math> je teleso, ak <math>(R^*,\cdot)</math> je grupa).
 
== Notácia ==
 
=== Multiplikatívna notácia ===
Pri ''multiplikatívnej notácii'' sa na operáciu nad nosnou množinou algebraickej štruktúry nahliada ako na operáciu násobenia. Operáciu danej štruktúry medzi dvoma prvkami nosnej množiny, pri používaní multiplikatívnej notácie, nazývame ''súčin''. Súčin rovnakého prvku nazveme ''umocnením''. Neutrálny prvok nazveme ''jednotkovým''.
 
Nech <math>(G,\circ)</math> je algebraická štruktúra (v tomto prípade [[grupoid]]) a <math>a,b \in G</math>. Potom v multiplikatívnej notácii zapíšeme:
* "súčin" <math>a \circ b</math> ako <math>ab</math>
* "mocninu" prvku <math>a \circ a</math> ako <math>a^2</math>
* inverziu prvku <math>a</math> ako <math>a^{-1}</math>
 
=== Aditívna nocácianotácia ===
Pri ''aditívnej notácii'' sa na operáciu nad nosnou množinou algebraickej štruktúry nahliada ako na operáciu sčítania. Operáciu danej štruktúry medzi dvoma prvkami nosnej množiny, pri používaní multiplikatívnej notácie, nazývame ''súčet''. Súčet rovnakého prvku nazveme ''násobením''. Neutrálny prvok nazveme ''nulovým''.
 
Nech <math>(G,\circ)</math> je algebraická štruktúra (v tomto prípade [[grupoid]]) a <math>a,b \in G</math>. Potom v aditívnej notácii zapíšeme:
* "sčítanie" <math>a \circ b</math> ako <math>a+b</math>
* "násobenie" prvku <math>a \circ a</math> ako <math>2a</math>
== Externé odkazy ==
* {{filit|fvs_/struktura_algebraicka.html}}
* [http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Teória grúp]
 
[[Kategória:Algebra]]
Anonymný používateľ