Kmitanie: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 2 896 bajtov ,  pred 15 rokmi
→‎Harmonické kmity: vlak na naklonenej rovine, priklad na harmonicke kmity
d (kat.)
(→‎Harmonické kmity: vlak na naklonenej rovine, priklad na harmonicke kmity)
 
Zhrnutím skúmania matematického kyvadla je to, že zatiaľ čo kmity pozorujeme v mnohých systémoch, analyticky ich dokážeme riešiť vtedy, keď je navracajúca sila priamo úmerná výchylke. Takýto druh závislosti môžeme často dosiahnuť tým, že sa obmedzíme na skúmanie malých výchyliek.
 
=== Skladanie harmonických kmitov ===
 
Často potrebujeme riešiť otázku kmitavého pohybu skladajúceho sa z niekoľkých rôznych harmonických kmitavých pohybov. Môžeme dostať rovnicu pohybu:
 
: <math>s(t) = \sum_{i = 0}^n s_0\sin(\omega_0 t + \varphi_0)</math>
 
V prípade, že skladáme kmity s rovnakou frekvenciou, ktoré sa líšia len fázou a amplitúdou, výsledkom bude opäť jednoduchý harmonický kmit, ktorého parametre vieme bližšie určiť pomocou [[fázor|fázorového diagramu]].
 
=== Využitie harmonických kmitov pri riešení fyzikálnych úloh ===
 
Harmonické kmity majú široké uplatnenie aj pri riešení fyzikálnych úloh na prvý pohľad nesúvisiacich s kmitavým pohybom.
 
==== Vlak na naklonenej rovine ====
 
Pred úpätím naklonenej roviny so sklonom <math>\alpha</math> voči zemi sa nachádza homogénny vlak dĺžky <math>l</math> hmotnosti <math>m</math> pohybujúci sa rýchlosťou <math>v</math> smerom ku kopcu. Vlak začne stúpať na kopec, v akom čase od tohto okamihu sa bude nachádzať lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy? Predpokladajte, že vlak nemá dostatočnú rýchlosť na to, aby vyšiel na kopec celý.
 
'''Riešenie:'''
 
Rozoberme situáciu v momente, keď sa lokomotíva nachádza v určitej vzdialenosti od úpätia kopca <math>d</math>. Rozoberme sily pôsobiace na vlak v tomto okamihu. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na zemi pôsobí nulová výslednica síl, keďže tiažová sila sa vykompenzovala s reakciou podložky. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na kopci pôsobí len zložka tiažovej sily rovnobežná so sklonom kopca, keďže zložka kolmá na kopec sa vykompenzovala s reakciou kopca. Na jednotku dĺžky vlaku pripadá hmotnosť <math>\frac{m}{l}</math>, hmotnosť časti vlaku nachádzajúcej sa na kopci teda bude:
 
: <math>\frac{m d}{l} </math>
 
Veľkosť tiažovej sily pôsobiacej na túto časť vlaku potom bude:
 
: <math>\frac{m g d}{l} </math>
 
Nás však zaujíma len zložka rovnobežná s kopcom, takže dostávame výslednú silu:
 
: <math>F_v = \frac{m g d \sin(\alpha)}{l} </math>
 
Ktorá urýchluje celý vlak hmotnosti <math>m</math>, zodpovedá teda zrýchleniu:
 
: <math>a = \frac{g d \sin(\alpha)}{l} </math>
 
Alebo:
 
: <math>a = k d </math>, kde: <math>k = \frac{g \sin(\alpha)}{l}</math>
 
Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:
 
: <math>T = \frac{2\pi}{\sqrt k} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \sin(\alpha)}}</math>
 
Medzi rovnovážnou polohou, v našom prípade čas, kedy začal vlak liezť na kopec a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Avšak to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:
 
: <math>t = \frac{T}{4} = \frac12 \pi \sqrt{\frac{l}{g \sin(\alpha)}}</math>
 
 
=== Ďalšie využitie ===
 
Harmonické kmity sa však nevyskytujú len v mechanike, klasickým príkladom nemechanického harmonického oscilátora je elektromagnetický oscilátor tvorený RLC obvodom. V tomto prípade nebude výchylkou zmena polohy, ale zmena napätia, či zmena prúdu. Veľký prínos harmonických kmitov spočíva práve v ich univerzálnosti pri riešení rôznorodých fyzikálnych problémov., ako príklad uvedieme zop
 
== Tlmené kmity ==
105

úprav