Abstraktná algebra: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d k |
|||
Riadok 1:
'''Abstraktná algebra''' je oblasť [[matematika|matematiky]], ktorá študuje [[algebraická štruktúra|algebraické štruktúry]] ako sú [[grupa (matematika)|grupy]], [[okruh (matematika)|okruhy]], [[pole (matematika)|polia]], [[modul (matematika)|moduly]], [[vektorový priestor]] a [[algebra cez pole|algebry]]. Väčšina autorov v súčasnosti jednoducho píše ''algebra'' namiesto ''abstraktná algebra''.
Termín ''abstraktná algebra'' teraz referuje na štúdium všetkých algebraických štruktúr na rozdiel od [[elementárna algebra|elementárnej algebry]] obvykle vyučovanej deťom, ktorá učí správne pravidlá pre manipulačné formuly a algebraické výrazy obsahujúce [[reálne čísla|reálne]] a [[komplexné čísla]], a neznáme. Elementárna algebra môže byť braná ako neformálny úvod do štruktúr známych ako [[reálne pole]] a [[komutatívna algebra]].
Súčasná matematika a [[matematická fyzika]] intenzívne používajú abstraktnú algebru; napríklad teoretická fyzika čerpá z [[lieova algebra|lieových algebier]]. Oblasti ako [[algebraická teória čísel]], [[algebraická topológia]] a [[algebraická geometria]] aplikujú algebraické metódy do iných oblastí matematiky. [[Reprezentačná teória]], zjednodušene povedané, berie 'abstrakt' von z 'abstraktnej algebry', študujúc konkrétnu stránku danej štruktúry; pozrite [[modelová teória]].
Dve matematické oblasti študujúce vlastnosti algebraických štruktúr videných ako celok sú [[univerzálna algebra]] a
Řádek 15 ⟶ 9:
== História a príklady ==
Mnoho základných algebraických štruktúr vzniklo najprv neformálne v iných oblastiach matematiky. Axiómy a primitívne operácie boli potom navrhnuté, umožňujúc štruktúre stať sa časťou abstraktnej algebry. Týmto spôsobom má abstraktná algebra mnoho plodných spojení so všetkými ostatnými oblasťami matematiky.
Formálne definície určitých [[algebraická štruktúra|algebraických štruktúr]] začali vznikať v 19. storočí. Abstraktná algebra vznikla začiatkom 20. storočia pod názvom ''moderná algebra''. Jej štúdium bolo časťou snahy za vyššiu [[intelektuálna prísnosť|intelektuálnu prísnosť]] v matematike. Zo začiatku predpoklady v klasickej [[algebra|algebre]], na ktorých celá matematika (a hlavné časti [[prírodné vedy|prírodných vied]]) závisia, vzali formu [[axiomatický systém|axiomatických systémov]]. Preto oblasti ako [[grupová teória]] a [[okruhová teória]] zabrali miesto v [[rýdza matematika|rýdzej matematike]].
Príklady algebraických štruktúr s jedinou [[binárna operácia|binárnou operáciou]] sú:
Řádek 36 ⟶ 26:
Pozrite [[algebraické štruktúry]] pre tieto a iné príklady.
== Príklad ==
Abstraktná algebra podporuje štúdium vlastností a štruktúr, ktoré sa jasne odlišujú od matematických konceptov vo
všeobecnosti. Napríklad uvažujme rôzne operácie [[funkcionálna kompozícia|funkcionálnej kompozície]] - zloženej funkcie ''f''(''g''(''x'')), a [[maticové násobenie]] ''AB''. Tieto 2 operácie majú fakticky rovnakú štruktúru. Aby ste to uvideli, uvažujte násobenie dvoch štvorcových matíc ''AB'' jedným stĺpcovým vektorom ''x''. To definuje funkciu ekvivalentnú k skladaniu ''Ay'' s ''Bx'': ''Ay'' = ''A''(''Bx'') = (''AB'')''x''. Funkcie pod skladaním a matice pod násobením sú príklady [[monoid]]ov. Set ''S'' a [[binárna operácia]] cez ''S'', označená zreťazením, formujú monoid, ak operácia [[asociatívny zákon|asociuje]], (''ab'')''c'' = ''a''(''bc''), a ak tu existuje ''e'' z ''S'', že platí ''ae'' = ''ea'' = ''a''.
==
* [[algebraická štruktúra]]
* [[univerzálna algebra]]
Řádek 51 ⟶ 37:
* [[Algebraická geometria]]
== Referencie a ďalšie čítanie (po anglicky) ==
* {{cite book | author=Sethuraman, B. A. | title=Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility | publisher=Springer | year=1996 | id=ISBN 0-387-94848-1}}
* {{cite book | author=Jimmie Gilbert, Linda Gilbert | title=Elements of Modern Algebra | publisher=Thomson Brooks/Cole | year=2005 | id=ISBN 0-534-40264-X}}
Řádek 60 ⟶ 46:
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]'' Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
[[
[[ar:??? ??????]]
| |||