Asymptotická hustota: Rozdiel medzi revíziami

horna a dolna asymptoticka hustota
(typo)
(horna a dolna asymptoticka hustota)
kde <math>A(n)=\left|A\cap\{1,2,3,\ldots,n\}\right|</math> je počet všetkých prvkov množiny <math>A</math>, ktoré sú menšie než prirodzené číslo <math>n</math>. Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina <math>A</math> má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.
 
==Horná a dolná asymptotická hustota==
== Príklady ==
'''Horná asymptotická hustota''' podmnožiny <math>A</math> prirodzených čísel je číslo
 
:<math>\overline{d}(A) = \limsup_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}</math>
 
zatiaľ čo jej '''dolná asymptotická hustota''' je
 
:<math>\underline{d}(A) = \liminf_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}.</math>
 
Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre ''každú'' podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.
 
== Príklady ==
* Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej [[kokonečná podmnožina|kokonečné podmnožiny]] majú asymptotickú hustotu 1.
* [[Prázdna množina]] ale aj všetky [[konečná množina|konečné]] podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
* O množine [[abundantné číslo|abundantných čísel]] sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v [[interval (matematika)|intervale]] [0.2474,0.2480].
 
== Vlastnosti ==
* Ak množina <math>A</math> má asymptotickú hustotu, potom platí <math>d(A^{c})=1-d(A)</math>, kde <math>A^{c}</math> je [[doplnok (množiny)|komplement]] množiny <math>A</math> vzhľadom k množine prirodzených čísel.
 
334

úprav