Pás (algebra): Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 293 bajtov ,  pred 14 rokmi
reformulacie, prerovnania, prosim skontrolovat makke L
(reformulacie, prerovnania, prosim skontrolovat makke L)
{{na revíziu}}
'''Pás''' je [[pologrupa]] ktorej operácia je [[Idempotentná operácia|idempotentná]]. To znamená, že pre každý prvok <math>a</math> pásu platí
'''Pás''' je [[pologrupa|pologrupu]], v ktorej každý element je [[idempotencia|idempotentný]] (inými slovami zhodný so svojim štvorcom). [[Zväz]] [[varieta (univerzálna algebra)|variet]] pásov nezávisle opísal Birjukov, Fennemore a Gerhard. '''Polozväzy''', '''ľavo-nulové pásy''', '''pravo-nulové pásy''', '''štvoruholníkové pásy''' a '''regulárne pásy''' sú špecifické podtriedy pásov, ležiace pri dne tohto zväzu, sú zvlášť zaujímavé a sú stručné popísané ďalej. Pásy našli uplatnenie v rozličných odvetviach matematiky, najviac ich používa [[teoretická počítačová veda]].
 
:<math>a\cdot a=a</math>.
==Polozväzy==
[[Polozväz]]y sú presne [[komutatívnosť|komutatívne]] pásy.
 
Pojem pásu nachádza dôležité uplatnenie v rôznych matematických odvetviach, najmä však v [[teoretická počítačová veda|teoretickej počítačovej vede]].
==Pravo-nulové, ľavo-nulové a štvoruholníkové pásy==
'''Štvoruholníkový pás''' je pás S, ktoré splňuje
* xyz = xz pre všetky <math>x, y, z \in S </math> (vlastnosť niekedy zvaná ako ''štvoruholníková vlastnosť'').
 
==Jednoduché príklady==
Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na <math>I \times J</math> zadaním
*Lubovoľný [[zväz]] tvorí pás vzhľadom ku obidvom svojim zväzovým operáciam. Napríklad [[Reálne číslo|množina reálnych čísel]] spolu s operáciou ktorá každej dvojici čísel priradí to väčšie z nich je pás. Ale tá istá množina tvorí pás aj vzhľadom k operácii ktorá každej dvojici čísel priradí to menšie z nich.
*Nech <math>a</math> je ľubovolné ale pevne zvolené číslo z jednotkového intervalu <math>[0,1]</math>. Jednotkový interval tvorí pás vzhľadom k binárnej operácii
:<math>x\cdot y = \min\{\max\{x,y\},\max\{a,\min\{x,y\}\}\}</math>
*Ľubovoľná množina spolu s operáciou ľavej alebo pravej projekcie tvorí pás.
 
==Špeciálne triedy pásov==
 
===Polozväzy===
Každý [[komutatívnosť|komutatívny]] pás je [[polozväz]] (v algebraickom zmysle slova) a naopak.
 
===Štvoruholníkové, pravo-nulové a ľavo-nulové pásy===
'''Štvoruholníkový pás''' je pás Sv ktorom pre každé tri prvky <math>x, y, ktoréz</math> splňujeplatí
 
:<math>x\cdot y\cdot z = x\cdot z</math>
 
Tejto vlastnosti sa niekedy hovorí [[štvoruholníková operácia|štvoruholníková vlastnosť]].
 
Napríklad pre dané ľubovolné neprázdne množiny I a J možno definovať pologrupovú operáciu na <math>I \times J</math> zadanímpredpisom
 
<math>(i, j) \cdot (k, l) = (i, l)</math>
# pre každé 3 páry <math>\big (i_x, j_x), (i_y, j_y), (i_z, j_z) </math> máme
<math> (i_x, j_x) \cdot (i_y, j_y) \cdot (i_z, j_z) = (i_x, j_z) = (i_x, j_x) \cdot (i_z, j_z)</math>
 
Fakticky každý štvoruholníkový pás je [[izomorfia|izomorfný]] k nejakej hore uvedenej forme.
 
'''Ľavo-nulový pás''' je pás splňujúci xy = y. Symetricky '''pravo-nulový pás''' splňuje xy = x. V určitých pravo-nulových a ľavo-nulových pásoch sú štvoruholníkové pásy a fakticky každý štvoruholníkový pás je izomorfný k direktnému súčinu ľavo-nulového pásu a pravo-nulového pásu.
 
===Regulárne pásy===
'''Regulárny pás''' je pás v ktorom pre každé tri prvky <math>x, y, z</math> platí
 
:<math>x\cdot y\cdot x\cdot z\cdot x = x\cdot y\cdot z\cdot x</math>
'''Regulárny pás''' je pás S splňujúci
* xyxzx = xyzx pre všetky <math>x, y, z \in S </math>
 
==Zväz variet pásov==
 
Trieda pásov formuje[[Zväz]] [[varieta (univerzálna algebra)|varietuvariet]], akpásov je uzavretáspočítateľný. podVyplýva formáciouto pologrúpz toho, [[homomorfizmus|homomorfickýchže obrazov]] akaždá [[direktnýequacionálna súčin|direktných súčinovtrieda]] a variety pásov naturálne formujú [[zväz (rád)|zväz]]. Možno ukázať, že tento zväz je [[spočítateľnosť|spočítateľný]],určená lebokonečným každá varieta pásov môže byť definovaná konečnou množinoupočtom [[varietaidentita (univerzálna algebravariety)|definujúcou identityidentít]]. Variety polozväzov, pravo-nulových a ľavo-nulových pásov predstavujú 3tri non-triviálnenetriviálne [[minimálny prvok|minimálne elementyprvky]] tohtotohoto zväzu.
 
[[Category:Abstraktná algebra]]
334

úprav