Otvoriť hlavné menu

Ťažisko alebo hmotný stred je pôsobisko tiažovej sily pôsobiacej na teleso. Distribúcie hmotnosti v priestore je pre túto distribúciu unikátny bod, v ktorom je vážený priemer relatívnych pozícií distribuovanej hmotnosti rovný nule, alebo bod, do ktorého ak umiestnime pôsobisko sily, sa bude pohybovať len translačným pohybom po vektorovej priamke tejto sily. V zjednodušenej predstave je to bod, ktorý sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. V homogénnom gravitačnom alebo zotrvačnom poli môžeme všetky gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na tuhé teleso nahradiť jedinou silou pôsobiacou v ťažisku.

Obsah

DefiníciaUpraviť

Ťažisko   sústavy hmotných bodov je rovnaké ako vážený priemer ich polôh  , kde váhou jednotlivých zložiek sú ich hmotnosti.

 

Kde   je celková hmotnosť sústavy.

VlastnostiUpraviť

Najjednoduchší spôsob zistenia ťažiska je narysovanie uhlopriečok pri rovinných útvaroch. Ak útvar zavesíme v ťažisku, mal by rovnomerne stáť. Ak teleso podoprieme, musíme v ťažisku, inak spadne. Poloha ťažiska závisí od rozloženia látky v telese. Dobrý príklad je hojdačka. Je podopretá v ťažisku, takže je v rovnováhe. Ak si ale na ňu niekto sadne, hmota sa na ňu zaváži, ťažisko sa presunie a keďže už nie je hojdačka podopretá pod ťažiskom, nakloní sa. Ďalší príklad je, že ak si človek sadne, postaví sa alebo ľahne, tiež sa presunie hmota a zmení ťažisko.

Ťažisko zjednotenia niekoľkých sústavUpraviť

Ak máme n sústav hmotných bodov s celkovými hmotnosťami   a s ťažiskami  , výsledné ťažisko zjednotenia týchto sústav má rovnakú polohu, ako poloha ťažiska sústavy n hmotných bodov nachádzajúcich sa v ťažiskách jednotlivých sústav majúcich hmotnosti zodpovedajúce celkovým hmotnostiam sústav. Táto dôležitá vlastnosť ťažiska plynie z vlastností váženého aritmetického priemeru a pomáha nám určiť polohy ťažísk zložitejších telies.

Pohyb ťažiskaUpraviť

Poloha ťažiska spĺňa rovnicu:

 

Derivovaním oboch strán rovnice podľa času dostávame:

 
 

S využitím odvodených rovníc je možné odvodiť, že ťažisko sústavy sa pohybuje, ako keby v ňom bola sústredená celá hmotnosť sústavy a pôsobili v ňom všetky sily pôsobiace na sústavu. Odvodenie nájdete v článku o sile.

Kde   sú rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov a   je rýchlosť a zrýchlenie ťažiska.

Pôsobisko gravitačnej a zotrvačnej sily v homogénnom poliUpraviť

Na všetky body telesa pôsobia gravitačná aj zotrvačná sila v rovnakom smere a ich veľkosť je úmerná hmotnosti daného bodu. Ide teda o skladanie rovnobežných síl a pôsobisko výslednice dostaneme v bode:

 

Kde  . Keďže sú však sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa úmerné ich hmotnostiam, prejde rovnica do tvaru:

 

Čo je rovnica ťažiska. V homogénnom poli môžeme gravitačné a zotrvačné sily pôsobiace na jednotlivé elementy tuhého telesa nahradiť jednou silou, ktorej veľkosť bude úmerná celkovej hmotnosti telesa a pôsobisko bude mať v ťažisku.