Arkuskotangens

Arkuskotangens je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii kotangens. Obvykle sa značí arccotgx, ale používajú sa aj značky arccot x a cot^-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu (0;π), prípadne v stupňovej miere z intervalu (0 °;180 °), ktorého kotangens je x.

Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Na rozdiel od cyklometrických funkcií arcsin, arccos a arctg nebýva na kalkulačkách k dispozícii, ale s využitím funkcie arctg ju možno vypočítať podľa niektorého zo vzorcov.

Definícia

Funkcia arccotgx je inverzná funkcia k funkcii cotg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval (0;π). Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti

Funkcia $y={\mbox{arccotg }}x$ v oblúkovej miere má nasledujúce vlastnosti:

Definičný obor	$\mathbb {R}$
Obor hodnôt	$(0;\pi )$
Obmedzenosť	Je obmedzená
Monotónnosť	Je rýdzo klesajúca, a teda prostá
Symetria	Nie párna ani nepárna, ale graf je súmerný podľa stredu $(x,y)=(0,{\tfrac {\pi }{2}})$
Periodicita	Nie periodická
Limity	$\lim _{x\to -\infty }{\mbox{arccotg }}x=\pi$ $\lim _{x\to +\infty }{\mbox{arccotg }}x=0$
Inverzné funkcie	$x={\mbox{cotg }}y$ (Kotangens)
Derivácia	${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arccotg }}x={-1 \over 1+x^{2}}$
Integrál	$\int {\mbox{arccotg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arccotg }}x+{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

Vzorce

${\mbox{arccotg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x$

${\mbox{arccotg }}(-x)=\pi -{\mbox{arccotg }}x$

${\mbox{arccotg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x={\mbox{arctg }}x&{\text{ak }}x>0\\{\tfrac {3}{2}}\pi -{\mbox{arccotg }}x=\pi +{\mbox{arctg }}x&{\text{ak }}x<0\end{cases}}$

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Arkus kotangens na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie