Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy

Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f}$

kde $\rho$ je hustota kontinua, ${\vec {\vec {\sigma }}}$ je tenzor napätia, a $\mathbf {f}$ je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou. $\mathbf {v}$ je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.

Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:

$\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\vec {\vec {\tau }}}$

kde $\scriptstyle {\vec {\vec {\tau }}}$ je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a $\scriptstyle {p}$ je tlak (normálové napätie).

Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu.

Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),
v stacionárnom stave $\left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=0\right)$
a mimo gravitačného pôsobenia ($\mathbf {f} =0$) dostaneme rovnicu:

$\rho \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p$

Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:

$p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}$

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.

Odvodenie Cauchyho rovnice

Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak $\Sigma$ je plocha, ktorá ho obopína:

$dma_{i}=dF_{i}\,$

$\rho \int _{V}{\frac {dv_{i}}{dt}}\,dV=\oint _{\Sigma }{\sigma _{ij}}\,dS+\int _{V}f_{i}\,dV$

Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme

$\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f}$

Keďže vektorové pole rýchlosti $\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)$ je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia:

${\frac {d\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+\nabla \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)$

Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=\nabla \cdot {\vec {\vec {\sigma }}}+\mathbf {f}$

Q.E.D.

Literatúra

• Šesták, J., Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998