Determinant (matematika)

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla

Značenie

upraviť

Determinant matice   značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky   nasledovným spôsobom:

 

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov   matice   používame nasledujúce značenie:

 ,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

 .

Definícia determinantu

upraviť

Všeobecná definícia

upraviť

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu   rozmeru   definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

 

Znak   znamená sumu cez všetky permutácie   čísel  . Znakom   označujeme znamienko permutácie  . Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel   sa v Leibnitzovej formule vyskytuje   sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu  :

 

Špeciálny prípad

upraviť

Matica rádu 1

upraviť

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla  . Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

 

Matica rádu 2

upraviť

Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

 

Matica rádu 3

upraviť

Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:

 

Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu

upraviť

Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

Sarrusovo pravidlo

upraviť

Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

Názorná schéma:

 

Teda:
 

Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca

upraviť

Majme štvorcovú maticu  . Potom pre každé   existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:

 

pričom matica   je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:

 

pričom matica   je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.

Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu

upraviť

Nech je daná matica  . Pevne zvoľme čísla   (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že:  .

Potom:

 

kde:

  •   je podmatica matice   typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami   a stĺpcov s indexami   (pričom platí:  ).
  •   je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami   a stĺpcov s indexami  
  • Algebrický doplnok determinantu   je prvok takéhoto tvaru:  

Základné vlastnosti determinantov

upraviť
  • Pre každú štvorcovú maticu   platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda  
  • Ak matica B vznikne z matice   vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda
 
  • Nech   je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každé   existuje algebrický doplnok   a má tvar:
 

pričom   je štvorcová matica typu  , ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.

  • Ak matica   ( ) má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:
 
  • Ak matica B vznikne z matice   tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme  , tak:
 
  • Nech sú dané dve matice:  ,  . Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré  , tak potom platí:
 
  • Ak je v matici   aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:
 
  • Majme maticu  , ( ). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním  -násobku ( ) hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:
 

Pozri aj

upraviť

Iné projekty

upraviť

Literatúra

upraviť

Externé odkazy

upraviť