Hotellingovo rozdelenie

Hotellingovo rozdelenie (iné názvy: Hotellingovo pravdepodobnostné rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie pravdepodobnosti, Hotellingovo $T^{2}$-rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie $T^{2}$, Hotellingovo rozdelenie T, Hotellingovo $T^{2}$, Hotellingovo T, Hotellingovo zovšeobecnené Studentovo rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Hottelingovo rozdelenie je zovšeobecnením Studentovho t-rozdelenia pre $p$-rozmerný priestor.

Hotellingovo $T^{2}$ rozdelenie má v matematickej štatistike významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz, vo viacrozmerných štatistických analýzach. Rozdelenie je pomenované podľa matematikovi Haroldovi Hotellingovi.

Definícia

Majme štvorcovú regulárnu maticu A $p$-teho stupňa a $p$-rozmerný vektor b. Nech má táto matica $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf {A} }\sim W_{p}({\mathbf {I} },m)$ a daný vektor nech má p-rozmerné normálne rozdelenie, teda: ${\mathbf {b} }\sim N_{p}({\mathbf {0} },{\mathbf {I} })$. Potom premenná $\alpha$ definovaná vzťahom:

$\alpha =m{\mathbf {b} ^{\prime }}{\mathbf {A} }^{-1}{\mathbf {b} }$

má Hotellingovo $T^{2}$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Označenie:

• $\operatorname {\alpha } \sim T^{2}(p,m)$

Ďalšie vzťahy

Majme matice A a B, pričom A má $p$-rozmerné normálne rozdelenie s parametrami ${\mathbf {\mu } }$ a ${\mathbf {\Sigma } }$ a B nech má $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s parametrom ${\mathbf {\Sigma } }$ a $m$ stupňami voľnosti, teda: ${\mathbf {A} }\sim N_{p}({\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } })$ a ${\mathbf {B} }\sim W_{p}({\mathbf {\Sigma } },m)$, pričom A a B sú nezávislé. Potom premenná vyjadrená nasledovným vzťahom:

$Y=m({\mathbf {A} }-{\mathbf {\mu } })^{\prime }{\mathbf {B} }^{-1}({\mathbf {A} }-{\mathbf {\mu } })$

má Hotellingovo $T^{2}$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Existuje vzťah medzi Hotellingovým $T^{2}$ rozdelením a Fisherovým-Snedecorovým rozdelením, a to:

$T^{2}(p,m)={\frac {mp}{m-p+1}}F(p,m-p+1)$

Teda z uvedeného vzťahu vidíme, že pokiaľ položíme parameter p = 1, tak dostávame rovnosť medzi týmito dvomi rozdeleniami, teda:

$\operatorname {T} ^{2}(1,m)=F(1,m)$

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hotelling's T-squared distribution na anglickej Wikipédii.