Otvoriť hlavné menu

Formulácia Maxwellových rovnícUpraviť

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a   (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)Upraviť

integrálny tvar

    

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu  , uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

 

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu  

Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)Upraviť

integrálny tvar

  

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

 

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .

Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)Upraviť

integrálny tvar

  

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

 

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)Upraviť

integrálny tvar

 

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

 

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Označenie Význam Jednotka SI
  intenzita elektrického poľa V/m
  intenzita magnetického poľa A/m
  elektrická indukcia C/m²
  magnetická indukcia T
  hustota voľného náboja C/m³
  hustota prúdu A/m²

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťouUpraviť

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

 
 

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

 
 

kde:

  je elektrická susceptibilita materiálu,

  je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

 
 
 
 

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

 

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálovUpraviť

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu   a  , ktoré sú definované tak, aby platilo

 
 

  a   sa pritom nezmenia, ak od potenciálu   odčítame ľubovolnú  , alebo k   pričítame  , kde   je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

 

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

 
 

kde   je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál   D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

 

kde  je elektrický štvorprúd a   je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

ZdrojUpraviť

  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Maxwellovy rovnice na českej Wikipédii.