Obelisk (geometria)

Obelisk je mnohosten,[1] vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky.[1] Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Obelisk s podstavou päťuholníka

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa,[2] ktorého podstava je kruh,[2] no možná je aj podstava elipsy[3] podobne ako u eliptického valca.[4] Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

VlastnostiUpraviť

Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť  -krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskovUpraviť

Základný (štvorcový) obeliskUpraviť

Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany   (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany   v dolnej podstave štvorca.[5] Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka   ktorá je zhodná s dĺžkou strany   v hornej podstave štvorca. Preto:

  a  

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Objem vypočítame ako:[5]

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako  , a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

 

kde:

  je strana hornej štvorcovej podstavy
  je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka
  je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka
  je strana dolnej štvorcovej podstavy
  je výška
  je obsah lichobežníka
 je obsah dolnej podstavy
  je obsah hornej podstavy

Obdlžníkový obeliskUpraviť

Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana   je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy  .[1] Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana  je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy,  . Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov   je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy  . To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany   sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy,  . Preto:

 ,  ,   a  

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Objem vypočítame ako:[1]

 

Alebo ako:

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Povrch vypočítame ako:

 

kde:

  je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)
  je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)
  je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)
  je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)
  je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov
  je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov
  je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov
  je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkov 
  je výška

Rovnostranný trojuholníkový obeliskUpraviť

Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy   a dolnej podstavy  . Horná, najkratšia strana lichobežníka   je rovnako dlhá ako strana  . Dolná, najdlhšia strana lichobežníka  je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy  . Preto:

  a  

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Objem vypočítame ako:

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Povrch vypočítame ako:

 

kde:

  je strana hornej podstavy
  je strana dolnej podstavy
  je horná, najkratšia strana lichobežníka
  je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
  je obsah hornej podstavy
  je obsah dolnej podstavy
  je výška

Pentagonálny obeliskUpraviť

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy   a strana dolnej podstavy  .[6] Najkratšia, horná strana lichobežníka   má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy  . Najdlhšia, dolná strana lichobežníka   má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy  . Preto:

  a  

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Objem vypočítame ako:[6]

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Povrch vypočítame ako:

 

kde:

  je strana hornej podstavy
  je strana dolnej podstavy
  je horná, najkratšia strana lichobežníka
  je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
  je obsah hornej podstavy
  je obsah dolnej podstavy
  je výška

Hexagonálny obeliskUpraviť

Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy   a strana dolnej podstavy  . Najkratšia, horná strana lichobežníka   má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy  . Najdlhšia, dolná strana lichobežníka   má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy  . Preto:

  a  

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Povrch vypočítame ako:

 

kde:

  je strana hornej podstavy
  je strana dolnej podstavy
  je horná, najkratšia strana lichobežníka
  je dolná, najdlhšia strana lichobežníka
  je obsah hornej podstavy
  je obsah dolnej podstavy
  je výška

Zrezaný kužeľUpraviť

Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°.[2] Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa.[2] Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

 

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

 

Objem vypočítame ako:[2]

 

Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

 

Obsah plášťa vypočítame ako:

 

Alebo ako:[2]

 

Povrch vypočítame ako:

 

Alebo ako:[2]

 

kde:

  je polomer dolnej podstavy
  je polomer hornej podstavy
  je výška

ReferencieUpraviť

  1. a b c d Volume of a obelisk Calculator [online]. High accuracy calculation for life or science., [cit. 2021-12-07]. Dostupné online. (po anglicky)
  2. a b c d e f g Volume of a circular truncated cone Calculator [online]. High accuracy calculation for life or science., [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. (po anglicky)
  3. High accuracy calculation for life or science. [online]. keisan.casio.com, [cit. 2021-12-21]. Dostupné online.
  4. Volume of an elliptic truncated cone Calculator [online]. High accuracy calculation for life or science., [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. (po anglicky)
  5. a b Volume of a truncated square pyramid Calculator [online]. High accuracy calculation for life or science., [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. (po anglicky)
  6. a b Volume of a frustum Calculator [online]. High accuracy calculation for life or science., [cit. 2021-12-21]. Dostupné online. (po anglicky)