Pologrupa s krátením

V matematike je pologrupa s krátením názov pre pologrupu, ktorá spĺňa zákony o krátení.

T.j. ide o pologrupu $(M,\circ )$ takú, že pre ľubovoľné $a,b,c\in M$ platí

$a\circ b=a\circ c\Rightarrow b=c$

$b\circ a=c\circ a\Rightarrow b=c$

(Ak platí len jedna z uvedených podmienok, hovoríme o krátení zľava resp. sprava.)

Príklady

• Každá grupa je pologrupa s krátením. (A teda aj ľubovoľná jej podpologrupa.)
• Prirodzené čísla s obvyklým sčitovaním tvoria pologrupu s krátením. (Je to podpologrupa grupy $(\mathbb {Z} ,+)$.)
• Ako jednoduchý príklad pologrupy, v ktorej neplatí zákon o krátení, môžeme zobrať celé čísla s násobením. Pre nulu totiž krátenie nefunguje. (Po vynechaní nuly už dostaneme pologrupu s krátením.)
• Matice typu n×n tvoria s operáciou násobenia pologrupu. Pre singulárne matice však neplatí zákon o krátení.

Vlastnosti

• Ľubovoľná konečná pologrupa s krátením je grupa.
• Komutatívna pologrupa sa dá vložiť do grupy práve vtedy, keď v nej platia zákony o krátení. Konštrukcia grupy z komutatívnej pologrupy s krátením je podobná konštrukcii podielového poľa z oboru integrity. Pre nekomutatívne pologrupy je krátenie nutnou podmienkou pre vložiteľnosť do grupy, nie však postačujúcou.

Literatúra

• CLIFFORD, Alfred Hoblitzelle; PRESTON, Gordon Bamford. The Algebraic Theory of Semigroups. Vol I.. Providence, R.I. : American Mathematical Society, 1961. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• GRILLET, Pierre A.. Commutative Semigroups. Dordrecht : Springer Science+Business Media, 2001. Dostupné online. ISBN 978-0-7923-7067-3.
• KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.