Priemer (matematika)

Pojem priemer v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr. ${\textstyle {\bar {x}}}$, ${\textstyle {\tilde {p}}}$ a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr. ${\textstyle _{\text{ap}}{\bar {x}}}$ pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.

Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.

Aritmetický priemer

Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).

${\tilde {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}}{n}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\bar {x}}={\frac {5+12+15+28+30}{5}}={\frac {90}{5}}=18$.

Geometrický priemer

Geometrický priemer je definovaný pre každé ${\textstyle x_{i}>0}$. Označovaný aj ako GM (geometric mean).

${\bar {x}}=\left(\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=(x_{1}\times x_{2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n})^{\frac {1}{n}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\bar {x}}=(5\times 12\times 15\times 28\times 30)^{\frac {1}{5}}=756000^{\frac {1}{5}}\approx 14.986$

Harmonický priemer

Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).

${\bar {x}}=n\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{1}}}\right)^{-1}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n-1}}}+{\frac {1}{x_{n}}}}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\bar {x}}={\frac {5}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{30}}}}\approx 11.931$.

Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.

Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

$\max \geq {\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}\geq \min$.

Kvadratický priemer

Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).

${\bar {x}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2})}}$.

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\bar {x}}={\sqrt {{\frac {1}{5}}(5^{2}+12^{2}+15^{2}+28^{2}+30^{2})}}={\sqrt {0.2\times 2078}}={\sqrt {415.6}}\approx 20.386$.

Vzťahy medzi predchádzajúcimi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

$\max \geq {\text{QM}}\geq {\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}\geq \min$.

Minkowského vzorec

Generalizovaný vzorec pre výpočet aritmetického, kvadratického a harmonického priemeru zaviedol do matematiky nemecký matematik Hermann Minkowski.

${\bar {x}}_{p}=\left({\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n-1}^{p}+x_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}$

kde ${\textstyle p\neq 0}$. Pre aritmetický priemer ${\textstyle p=1}$, pre harmonický ${\textstyle p=-1}$ a pre kvadratický ${\textstyle p=2}$, ale obdobne je možné pomocou tohto vzorca vypočítať kubický priemer, kvartický priemer a pod.

Aritmeticko-geometrický priemer

AGM je definovaný pre dve dve kladné čísla ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$, pre ktoré platí ${\textstyle x\geq y\geq 0}$. Formálne je AGM definovaný ako limita dvoch nezávislých sekvencií ${\textstyle a_{i}}$ a ${\textstyle g_{i}}$, ktoré konvergujú k rovnakej hodnote.

${\begin{aligned}a_{0}&=x\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\frac {1}{2}}(a_{n}+g_{n})\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\\\end{aligned}}$.

Aritmeticko-harmonický priemer

AHM, respektíve ním generované sekvencie ${\textstyle a_{i}}$ a ${\textstyle h_{i}}$ konvergujú k hodnote geometrického priemeru ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$.

${\begin{aligned}a_{0}&=x\\h_{0}&=y\\a_{n+1}&={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}}\\h_{n+1}&={\frac {2a_{n}h_{n}}{a_{n}+h_{n}}}\\\end{aligned}}$.

Geometricko-harmonický priemer

GHM je definovaný pre dve kladné čísla ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$.

${\begin{aligned}g_{0}&=x\\h_{0}&=y\\g_{n+1}&={\sqrt {g_{n}h_{n}}}\\h_{n+1}&={\frac {2g_{n}h_{n}}{g_{n}+h_{n}}}\\\end{aligned}}$.

Pre AGM, AHM a GHM platí nerovnica$\min(x,y)\leq H(x,y)\leq GHM(x,y)\leq (G(x,y)=AHM(x,y))\leq AGM(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)$

Herónov priemer

Herónov priemer, využívaný hlavne v geometrii, je definovaný pre dve nezáporné reálne čísla ${\textstyle x}$ a ${\textstyle y}$, priemer je pomenovaný podľa Heróna z Alexandrie. Vypočíta sa podľa vzorca

${\bar {h}}={\frac {1}{3}}(x+{\sqrt {xy}}+y)$

Referencie

Matematický portál