Pytagorova veta

vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Ilustrácia Pytagorovej vety
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

,

kde , dĺžky odvesien a je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.[1]

DejinyUpraviť

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

 
Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vetyUpraviť

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcamiUpraviť

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti   je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca  -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou   a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestoreUpraviť

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory  ,  ,  , pre ktoré platí

 

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

 

kde   je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku   s pravým uhlom pri vrchole   označíme

 

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vetyUpraviť

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1Upraviť

 
K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou   je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami   a  
  • zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou  .

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2Upraviť

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

  • Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka   a  . Pre jeho obsah teda platí:
 .
  • Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou  . Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ( ) a bieleho štvorca so stranou c ( ). Obsah celého obrazca je daný vzorcom
 .

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

 

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

 .

Dôkaz číslo 3Upraviť

 
K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (  a  , ktorý sa rovná uhlu  ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)Upraviť

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (   ). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

  1.  
  2.  
  3.  

z uvedeného vyplýva, že

  1.  
  2.  
  3.  

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly   a   sú zhodné), že platí | | = | |. Ak   dosadíme do 3. rovnice na miesto  , z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí | | = | |. Trojuholníky sú si teda podobné.

Samotný dôkazUpraviť

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

 

a rovnako platí aj

 

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

 

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že  , čo po dosadení dá:

 

Pytagorejské číslaUpraviť

 
Pytagorejské trojice, vyznačené dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka v bodovom grafe.

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla[2] tvoria trojice prirodzených čísel  ,   a  , pre ktoré platí  . Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Základné pytagorejské trojiceUpraviť

  • Pytagorejské čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa, napríklad 7, 24, 25, sú základné pytagorejské trojice.
  • Pytagorejská trojica 6,8,10, nie je základná, lebo má spoločného deliteľa 2 (trojuholník so stranami 6, 8, 10 má koeficient podobnosti rovný 2), so základnou pytagorejskou trojicou 3,4,5.
  • Základné Pytagorejské čísa do 100 sú:
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
  • Euklidov vzorec pre generovanie pytagorejských čísel a, b, c je s použitím ľubovoľných celých čísel m a n, kde m > n > 0:[3]
 

Použitie pytagorejských číselUpraviť

Ľahko zapamätateľná postupnosť pytagorejských čísel 3,4,5 ich predurčila pre požitie v stavebníctve, stolárstve a kedykoľvek, ak potrebujeme pomocou jednoduchých pomôcok overiť pravouhlosť veľkorozmerných telies. V takom prípade použijeme pravouhlý trojuholník, kde si na dvoch odvesnách vyznačíme dĺžky 3 a 4, a kontrolujeme ich preponu, či je 5. Užitočne sa využívajú aj podobné trojuholníky a pravouhlosť kontrolujeme napríklad pomocou rozmerov: 30 cm, 40cm a preponu 50cm, alebo trojice 60cm, 80 cm a 1 m, ...


ReferencieUpraviť

  1. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-11-20].
  2. http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1452-pythagorejske-trojice
  3. PYTHAGOREJSKÉ TROJÚHELNÍKY, H.Lišková. Investice do rozvoje a vzdělávání [online]. home.pf.jcu.cz, [cit. 2022-01-03]. Dostupné online. (po česky)

Iné projektyUpraviť

Externé odkazyUpraviť