Riemannov integrál

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historicky prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

ÚvodUpraviť

 
Obrázok 2

Nech   je nezáporná reálna funkcia na intervale   a nech   je plocha pod touto funkciou na intervale   (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy  . Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

 

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu   pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia   môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou   mínus obsahom plochy pod ňou.


 
Postupnosť Riemannových súčtov. Čísla vpravo hore sú obsahy šedých obdĺžnikov. Konvergujú k integrálu funkcie.

Definícia Riemannovho integráluUpraviť

Delenia intervaluUpraviť

Delenie intervalu   je každá konečná postupnosť  . Každý z intervalov   sa nazýva podinterval delenia. Norma delenia je definovaná ako dĺžka najdlhšieho podintervalu  , teda je to  , kde  .

Značené delenie intervalu je delenie intervalu spolu s konečnou postupnosťou čísel  , pre ktorú platí, že pre každé  ,  . Inými slovami to je delenie, ktorého každý podinterval obsahuje jeden bod. Norma značeného delenia sa definuje rovnako ako norma obyčajného delenia.

Predpokladajme ďalej, že   spolu s   je značené delenie intervalu   a že   spolu s   je iné značené delenie toho istého intervalu. Hovoríme, že   spolu s   je zjemnením delenia   spolu s  , ak pre každé celé číslo  ,  , existuje celé číslo   také, že   a také, že   pre niektoré   with  . Zjednodušene povedané, zjemnenie značeného delenia je značené delenia, ktoré ma viacero značiek, ale má aj všetky pôvodné.

Na množine všetkých značených delení môžeme definované čiastočné usporiadanie nasledovne: jedno značené delenie je väčšie ako iné značené delenie, keď to väčšie je zjemnením menšieho.

Riemannove súčtyUpraviť

Zvoľme si reálnu funkciu   definovanú na intervale  . Riemannovým súčtom funkcie   vzhľadom na značené delenie   spolu s   je suma:

 

Každý člen sumy je súčinom hodnoty funkcie v danej značke a dĺžky intervalu. Geometricky každý člen teda zodpovedá obsahu obdĺžnika výšky   a dĺžky  . Riemannov súčet je znamienkový obsah pod všetkými takýmito obdĺžnikmi.

Riemannov integrálUpraviť

Voľne povedané, Riemannov integrál je limita Riemannových súčtov funkcie pre stále jemnejšie a jemnejšie delenia. Avšak povedať presne, čo myslíme pod "jemnejšie a jemnejšie", je trochu zložitejšie.

Jeden dôležitý fakt je, že normy delení musia stále klesať, takže ich limita je nulová. Keby to tak nebolo, nedostávali by sme dobré aproximácie na niektorých podintervaloch. Toto však stále nestačí na definovanie integrálu. Aby sme boli konkrétni, hovoríme, že Riemannov integrál funkcie   sa rovná  , ak platí nasledujúca podmienka:

Pre každé   existuje   taká, že pre ľubovoľné značené delenie   a  , ktorého norma je  , platí
 

S touto definíciou je však veľmi nepohodlné pracovať. Vypracujeme preto alternatívnu definíciu a následne dokážeme, že je rovnaká ako táto, ktorú sme práve napísali. Naša nová definícia hovorí, že Riemannov integrál funkcie   sa rovná  , ak platí podmienka:

Pre každé   existuje značené delenie   spolu s   také, že pre každé jeho zjemnenie   a   platí:
 

Inak povedané, Riemannove súčty vzhľadom na postupne zjemňujúce sa intervalu konvergujú k  . Táto definícia je v skutočnosti špeciálnym prípadom všeobecnejšieho pojmu topologickej siete.

Ako sme už povedali, tieto dve definície sú ekvivalentné. Aby sme ukázali, že z prvej definície vyplýva druhá, zoberme nejaké   a zvoľme  , ktorého existenciu zaručuje podmienka definície. Zvoľme si ľubovoľné delenie, ktorého norma je menšia ako  . Jeho Riemannov súčet sa nachádza od   vo vzdialenosti menšej ako   a každé jeho zjemnenie bude mať taktiež normu menšiu ako  , čiže jeho Riemannov súčet tiež vzdialený najviac   od  . Na to, že z druhej definície vyplýva prvá, je pohodlnejšie pracovať s Darbouxovým integrálom. Najprv sa však musí ukázať, že druhá definícia je ekvivalentná s definíciou Darbouxovho integrálu; dôkaz je uvedený v článku o Darbouxovom integráli. Teraz dokážeme, že darbouxovsky integrovateľné funkcie vyhovujú prvej definícii. Zvoľme delenie   také, že dolné a horné Darbouxove súčty vzhľadom na toto delenie nie sú vzdialené od hodnoty   Darbouxovho integrálu o viac ako  . Nech   sa rovná  , kde   a  suprémom a infimom funkcie   na   a nech   je menšia ako obe hodnoty   a  . Potom nie je ťažké ukázať, že Riemannov súčet funkcie   vzhľadom na ľuboľné značené delenie normy menšej ako   bude v rámci   od horného alebo dolného Darbouxovho súčtu, takže celkovo bude vo vzdialenosti menšej ako   od  .

Externé odkazyUpraviť