Rovnica (matematika)
Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.
Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".
Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.
Znak rovná sa
upraviťGraficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.
Základné definície
upraviť- Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
- Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
- Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
- Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
- Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.
Premenná, neznáma, parameter
upraviťPojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:
- neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
- parametre = ostatné premenné
Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.
Delenie podľa počtu neznámych
upraviťDelenie podľa riešiteľnosti
upraviť- všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
- riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
- neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)
Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.
Delenie podľa typu zobrazení F a f
upraviť- algebrická rovnica
- nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)
Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych xT = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor aT = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
aTx = b.
Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A =
a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b
- Vysvetlivky
- tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
- T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)
Riešenie rovnice
upraviťNa nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:
- Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
- Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.
Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.
Príklady počítania rovníc
upraviťPríklad č.1:
Postup:
- Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak:
- Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.2:
Postup:
- Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak:
- Vydelíme obe strany rovnice číslom -3:
- Riešenie zapíšeme v parametrickej forme:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.3:
Postup:
- Do premenných a dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme a .
- Čísla si dosadíme do vzorca: Ďalej:
- Ďalej: a .
- Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.4:
Postup:
- Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak:
- Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak:
- Obe strany rovnice vydelíme číslom -94:
- Riešenie zapíšeme v parametrickej forme:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.6:
Postup:
- Rovnicu zjednodušíme násobením do kríža:
- Prvú zátvorku vynásobime číslom 3:
- Druhú zátvorku vynásobime číslom 4:
- Premennnú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak:
- Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak:
- Časť zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín:
- Vypočítame súčet: . Ďalej vynásobime obe strany rovnice číslom -1:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je:
Príklad č.7:
Postup:
- Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak:
- Premenné a prenesieme na pravú stranu a zmeníme ich znaky:
- Časť zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín:
- Obe strany rovnice vydelíme číslom -2:
- Riešenie zapíšeme v parametrickej forme:
- Konečné riešenie a výsledok rovnice je: