Skalár (matematika)

Skalár je v matematike prvok poľa, ktoré sa používa na skalárne násobenie vektorov vo vektorových priestoroch. Skaláry sú najčastejšie reálne alebo komplexné čísla, ale v abstraktnej algebre môžu pochádzať aj z iných polí.

Definícia

Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb {K}$. Prvky $\mathbb {K}$ sa nazývajú skaláry, pričom pre každý vektor $v\in V$ a skalár $\lambda \in \mathbb {K}$ je definovaný jeho skalárny násobok $\lambda v\in V.$

Príklady

• Vektorový priestor $\mathbb {R} ^{n}$ je definovaný nad poľom $\mathbb {R}$, takže jeho skaláry sú reálne čísla.
• Priestor $\mathbb {C} ^{n}$ je vektorový priestor nad $\mathbb {C}$, takže jeho skaláry sú komplexné čísla.
• V množine všetkých matíc $M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ môžeme matice považovať za vektory a reálne čísla za skaláry.
• V priestore spojitých funkcií $C([0,1],\mathbb {R} )$ nad $\mathbb {R}$ sú skaláry opäť reálne čísla.

Vlastnosti

Ak je $V$ vektorový priestor nad poľom $\mathbb {K}$, skalárne násobenie z definície vektorového priestoru spĺňa nasledovné vlastnosti. Pre všetky $\lambda ,\mu \in \mathbb {K}$ a $v,w\in V$ platí:

• Asociatívnosť:

$(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v).$

• Distributívnosť vzhľadom na skalárne sčítanie:

$(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v.$

• Distributívnosť vzhľadom na vektorové sčítanie:

$\lambda (v+w)=\lambda v+\lambda w.$

• Neutrálne prvky: Ak $1$ je jednotkový prvok v $\mathbb {K}$, platí:

$1v=v.$

Súvisiace pojmy

• Skalárna veličina
• Vektor (matematika)
• Matica (matematika)
• Tenzor
• Skalárny súčin