Symetrická diferencia

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.[1]

Vennov diagram pre .
Symetrická diferencia množín je
zjednotenie množín bez ich prieniku.
Venn0111.svg Venn0001.svg Venn0110.svg
Vennov diagram pre

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako

[1]

alebo

 [chýba zdroj]

alebo

 [chýba zdroj]

Napríklad symetrická diferencia množín a je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

VlastnostiUpraviť

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

  [1]

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

  [2]

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

  [1]

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

 

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak   a  disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

 
  [1]

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

  [2]

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

 
  [1]

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.[2]

ReferencieUpraviť

  1. a b c d e f SLEZIAK, Martin. 2-UMA-115 Teória množín [online]. Bratislava: Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, 2011-11-16, [cit. 2018-07-22]. S. 27 – 29. Dostupné online.
  2. a b c Symmetric difference [online]. PlanetMath, [cit. 2018-07-23]. Dostupné online.

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.