Teória miery

Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

Miera

Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

Definícia

Majme merateľný priestor $(X,\Sigma )$. Množinovú funkciu $\mu :\Sigma \rightarrow \langle 0,\infty \rangle$ nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

• Miera prázdnej množiny je nulová: $\mu (\emptyset )=0$.
• Miera je vždy nezáporná: $\forall A:\mu (A)\geq 0$
• σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách $(A_{i})_{i=1}^{\infty },\ A_{i}\in \Sigma$ platí $\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$

Trojicu $(X,\Sigma ,\mu )$ potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti miery

• $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)$
• Pre postupnosť množín $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ platí: $\mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$
• Pre postupnosť podmnožín $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...$ platí: $\mu (\bigcup _{1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$
• Naopak pre postupnosť nadmnožín: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq ...$ pokiaľ $\mu (A_{1})<\infty$ potom platí: $\mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$

Príklady mier

• Diracova miera $\delta _{a}$: Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera $\delta _{a}$ je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom:

$\delta _{a}(A)={\begin{cases}{\mbox{0 pokiaľ }}a\notin A\\{\mbox{1 pokiaľ }}a\in A\end{cases}}$

• Aritmetická miera
• Lebesgueova miera
• Hausdorffova miera
• Lebesgue-Stieltjesove miery