Teória miery je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá z najvšeobecnejších hľadísk exaktným uchopením pojmu kvantity. Základným pojmom teórie je miera, ktorá zovšeobecňuje pojmy, ako dĺžka, plocha, či objem. Teória miery je úzko spätá s teóriou integrálu (preto sa často vyskytuje aj označenie Teória miery a integrálu) a tiež s teóriou pravdepodobnosti.

MieraUpraviť

Miera je základným pojmom teórie miery. Z neformálneho pohľadu je miera zovšeobecnením pojmov dĺžka, obsah, objem] alebo počet (množstvo).

DefiníciaUpraviť

Majme merateľný priestor  . Množinovú funkciu   nazveme miera, ak spĺňa tieto podmienky:

  • Miera prázdnej množiny je nulová:  .
  • Miera je vždy nezáporná:  
  • σ-aditivita: Pre ľubovoľnú spočítateľnú postupnosť po dvoch disjunktných množinách   platí  

Trojicu   potom nazývame priestor s mierou.

Vlastnosti mieryUpraviť

  •  
  • Pre postupnosť množín   platí:  
  • Pre postupnosť podmnožín   platí:  
  • Naopak pre postupnosť nadmnožín:   pokiaľ   potom platí:  

Príklady mierUpraviť

  • Diracova miera  : Nech X je neprázdna množina a a jej prvok. Diracova miera   je definovaná na σ-algebre P(X) všetkých podmnožín množiny X predpisom: