Vektorový podpriestor

Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

DefiníciaUpraviť

Nech   je vektorový priestor a nech   je neprázdna podmnožina množiny  . Potom   nazývame podpriestor vektorového priestoru   , ak spolu s operáciami   tvorí vektorový priestor nad poľom   .

VetaUpraviť

Nech   je vektorový priestor a nech   je neprázdna podmnožina množiny   .Potom   je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky   a   platí

  1. a)  
  2. b)  

Veta 1Upraviť

Podpriestory  ,   majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory   a   také, že platí  

Špeciálny prípad vety 1.Upraviť

Priamky   a   majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou  

DôkazUpraviť

  1.   ,  
  2.  
  3.  

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2Upraviť

Ak   a   sú podpriestory   s neprázdnym prienikom, tak ich prienik   je afinný podpriestor so zameraním  .

DôkazUpraviť

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

  1. a) Ak body   a   patria do   , tak vektor   patrí do

 .

  1. b) Ak bod   patrí do   a   patrí do  , tak bod   patrí do  .

Toto je však triviálne, lebo ak bod   aj   , tak   pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3Upraviť

Podpriestory   a   sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

Náznak dôkazuUpraviť

Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j.  ), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu vyplýva, že existuje vektor   a súčasne  . Bez ujmy na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu   tak, aby  . Nech  . je bázou  . (Z predpokladu   vyplýva, že každý z vektorov   je lineárnou kombináciou vektorov  . Pretože   je báza   pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory   a   sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3Upraviť

Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:

  1. Dve priamky v   nemôžu mať práve dva spoločné body.
  2. Dve priamky v   sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
  3. Rovina a priamka v   sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
  4. Dve roviny v   sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

A mnohé ďalšie.

LiteratúraUpraviť

  • M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
  • M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri ajUpraviť

Externé odkazyUpraviť