Zhodné zobrazenie
Zhodné zobrazenie alebo izometria je izomorfizmus metrických priestorov, ktoré zachováva vzdialenosti. V prípade transformácie nejakého metrického priestoru sa často používa aj termín zhodnosť.
Zhodné zobrazenia sú špeciálnym prípadom podobných zobrazení s koeficientom 1.
Školská definícia upraviť
Zobrazenie euklidovského priestoru na seba sa nazýva zhodnosť (pojem zhodné zobrazenie je všeobecnejší pojem ako zhodnosť), ak pre každé dva body (vzory) X,Y a ich obrazy X',Y’ platí: |X,Y| = |X’,Y'|. (Vzdialenosť každých dvoch bodov sa rovná vzdialenosti ich obrazov).
Z definície zhodnosti vyplýva: Zhodnosť zachováva veľkosti uhlov. Zhodnosť zachováva veľkosti obsahov útvarov. Všetky zhodnosti s operáciou skladanie zhodností vytvárajú grupu.
Platí: Každá zhodnosť v euklidovskej rovine (E2) sa dá zložiť z najviac troch osových súmerností.
Posúvanie (špeciálne - identita) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rovnobežné. Otáčanie (špeciálne - stredová súmernosť) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rôznobežné. Posunuté zrkadlenie sa dá zložiť z troch osových súmerností.
Platí: Každá zhodnosť v euklidovskom priestore (E3) sa dá zložiť z najviac štyroch rovinových súmerností.
Platí (zovšeobecnenie predchádzajúcich tvrdení): Každá zhodnosť v euklidovskom n-rozmernom priestore (En) sa dá zložiť z najviac (n+1) súmerností podľa (n-1)-rozmerných podpriestorov (nadrovín).
Prehľad zhodností euklidovského priestoru (až po E3) upraviť
- E1
- súhlasné zhodnosti (→ súhlasná (nesprávne - priama) zhodnosť):
- Identita
- Posúvanie (translácia)
- nesúhlasná zhodnosť:
- Stredová súmernosť
- súhlasné zhodnosti (→ súhlasná (nesprávne - priama) zhodnosť):
- E2
- súhlasné zhodnosti:
- Identita
- Posúvanie (translácia)
- Otáčanie (rotácia)
- nesúhlasné zhodnosti:
- Osová súmernosť
- Posunuté zrkadlenie
- súhlasné zhodnosti:
- E3
- Identita
- Posunutie (translácia)
- Otáčanie okolo osi (rotácia)
- Otáčanie okolo osi a posunutie v smere osi
- Rovinová súmernosť
- Posunuté rovinové zrkadlenie (rovinová súmernosť a posunutie v niektorom smere roviny)
- Rotácia okolo osi o uhol iný ako priamy a rovinová súmernosť s rovinou kolmou na os rotácie
- Stredová súmernosť
Poznámka:
Podľa matematického slovníka sa zobrazenia nazývajú otáčanie, posúvanie a nie otočenie, posunutie.[1][2][3]
Referencie upraviť
- ↑ M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-04-01]. ISBN 978-80-561-0058-5.
- ↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-04-01]. ISBN 80-8078-091-9.
- ↑ P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-04-01].
Externé odkazy upraviť
- Duplak, J.: Zobrazenia a Kužeľosečky - Online text zaraďujúci zhodné zobrazenia do širšieho kontextu teórie afinných zobrazení.