Zlomok (matematika)

podiel dvoch výrazov

Zlomok označuje v matematike spôsob zápisu racionálneho čísla.

Torta, z ktorej bola odrezaná jedna štvrtina. Každá zo zvyšných troch štvrtín je označená zlomkom .
Grafické znázornenie výpočtu

Zlomok sa zapisuje v tvare alebo , kde a celé čísla, pričom , pretože nulou sa deliť nesmie.[1] Číslo sa nazýva čitateľ, číslo sa nazýva menovateľ a čiara medzi nimi sa nazýva zlomková čiara.

Zápis pomocou zlomkov je vhodný na prevádzanie elementárnych úprav zložitejších výrazov.

Vlastnosti

upraviť

Zlomok, ktorý má v menovateli nulu nie je v matematike definovaný.

Hodnota zlomku, ktorý má v čitateli nulu je vždy nulová, napr.  .

Zlomok, ktorý má v menovateli jednotu sa rovná výrazu v čitateľovi. Napríklad

  a pod.

Zlomok, ktorý má v čitateli jednotu je prevrátená hodnota výrazu v menovateli. Napríklad

  a pod.

Pokiaľ je v zlomku   čitateľ menší ako menovateľ   hovoríme o tzv. pravom zlomku, pre ktorý platí  .

Pokiaľ je v zlomku   čitateľ väčší ako menovateľ   hovoríme o tzv. nepravom zlomku, pre ktorý platí  .

Pokiaľ sú v zlomku   hodnoty čitateľa a menovateľa rovnaké   hovoríme o tzv. jednotkovom zlomku, pre ktorý platí  . Napríklad

 .

Dva zlomky   a   majú rovnakú hodnotu vtedy a len vtedy, keď   (tzn. ich podiel je 1).

Hodnota zlomku so záporným čitateľom aj záporným menovateľom je vždy kladná, napr.  .[2]

Hodnota zlomku so záporným čitateľom a kladným menovateľom (alebo kladným čitateľom a záporným menovateľom) je vždy záporná, napr.  .

Ako základný tvar zlomku sa označuje zlomok, ktorý sa nedá viac krátiť bez toho, aby v menovateli alebo v čitateli nevznikli čísla s desatinným rozvojom respektíve základný tvar zlomku je taký zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného celočíselného deliteľa. Napríklad   alebo  .[3]

Ako dyadické zlomky sa označujú zlomky v tvare   kde  , čiže v menovateli sa nachádza mocnina čísla dva.[4]

Počítanie so zlomkami

upraviť

So zlomkami sa dá pracovať ako s inými racionálnymi číslami, dajú sa teda sčítať, odčítať, násobiť a deliť, odmocňovať a umocňovať atď.[5]

Sčítanie a odčítanie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

 ,  ,

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

 ,  .

Násobenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

 ,  

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

 ,  .

Delenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké podľa vzorca

 ,  .

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

 ,  .

Odmocňovanie celého zlomku je možné rozpísať ako samostatné odmocniny čitateľa a menovateľa

 ,  .

Umocňovanie celého zlomku je opäť možné rozpísať ako samostatné mocniny čitateľa a menovateľa

 ,  .

Ak sa exponent   potom platí  .

Krátenie a rozširovanie zlomkov

upraviť

Každý zlomok je možné krátiť alebo rozširovať konštantou   pričom sa nemení hodnota zlomku. Teda pre krátenie platí

 

a analogicky pre rozširovanie platí

  .

Krátenie alebo rozširovanie zlomkov sa dá využiť na odstránenie čísel s desatinným rozvojom nachádzajúcich sa v zlomku a jeho prevedenie do základného tvaru. Napríklad

 .

Porovnávanie zlomkov

upraviť

Porovnať dva zlomky a určiť, ktorý z nich je menší resp. väčší resp. či sú rovnaké je možné porovnaním ich čitateľov za predpokladu, že ich menovatele sú rovnaké. V prípade, že menovatele nie sú rovnaké je nutné jeden zo zlomkov upraviť tak, aby mal v menovateli rovnakú hodnotu ako druhý. Samotná zmena menovateľa sa robí podľa vzorca

 

kde   je hodnota nového menovateľa. Napríklad

 .

Z vyššie uvedeného teda vyplýva, že   platí len a iba vtedy ak platí aj  , vice versa.


Pri prevádzaní zložitejších operácií na zlomky sa zlomok   správa ako  , takže napríklad

 [6]

Referencie

upraviť
  1. REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Praha : Prometheus, 2000. (7. vyd.) Dostupné online. ISBN 80-7196-179-5.
  2. Negative Fractions [online]. 2014-07-31, [cit. 2025-01-27]. Dostupné online. (po anglicky)
  3. Pohodová matematika – monitor 9, testovanie 9 testy [online]. [Cit. 2025-01-31]. Dostupné online.
  4. DyadicFraction at Sensei's Library [online]. senseis.xmp.net, [cit. 2025-02-04]. Dostupné online.
  5. Numeracy, Maths and Statistics - Academic Skills Kit [online]. www.ncl.ac.uk, [cit. 2025-01-27]. Dostupné online.
  6. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-06-05].