Hromadný bod: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
slovaná definícia |
rozšírenie,, interwiki |
||
Riadok 1:
'''Hromadný bod''' množiny ''M'' je zjednodušene povedané bod, v okolí ktorého sa hromadí nekonečne veľa bodov množiny ''M''. Podstata hromadného bodu nachádza svoj zmysel pri definovaní spojitých štruktúr. Príkladom môže byť limita a derivácia, ktoré vo svojej definícií obsahujú pojem hromadného bodu, v ktorého okolí má zmysel uvažovať proces približovania sa k určitej hodnote.
==Definícia hromadného bodu==
Nech <math>x_0\in\mathbb{R}</math>. Hovoríme, že <math>x_0</math> je hromadný bod množiny <math>M</math> práve vtedy, keď pre každé jeho prstencové okolie <math>\mathcal{P}(x_0)</math> existuje bod <math>x\in M</math> s vlastnosťou <math>x\in\mathcal{P}\cap M</math> a zároveň <math>x\ne x_0</math>.<br />
Definícia možno pozvoľne chápať tak, že v ľubovoľne malom okolí hromadného bodu, vždy existujú body množiny ''M''. V samotnej definícii limity sa pod zápisom <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> myslí, že bod ''a'' je hromadný bod definičného oboru funkcie ''f''. Problém by mohol nastať v prípade, že bod ''a'' by nebol hromadným bodom definičného oboru funkcie. V tomto prípade by bolo nezmyselné definovať proces približovania k nejakej hodnote, pre ktorú funkcia nie je definovaná.
===Príklad===
Jednoduchým dôkazom možno ukázať, že množina <math>M=\{1/n;\;n\in\mathbb{N}\}</math> má hromadný bod <math>n_0=0</math>. Stačí podľa definície zvoliť prstencové okolie bodu 0, <math>\mathcal{P}(0):=(0;\xi)</math>. Dokážeme, že pre ľubovoľne malé <math>\xi>0</math> existuje prvok <math>m\in M</math> s vlastnosťami podľa definície. Majú platiť nasledovné nerovnosti<br />
<math>0<\frac{1}{n}<\xi</math>
Keďže množina je obmedzená pre prirodzené čísla, stačí písať jednu nerovnosť<br />
<math>\frac{1}{n}<\xi</math>
Jednoduchou úvahou možno zistiť, že
<math>\frac{1}{\xi}<n</math>
Preto stačí zvoliť vyhovujúci bod<br />
<math>m=\frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\xi}\right\rceil+1}</math>
Týmto spôsobom sa našlo vyhovujúce <math>m\in M</math>, ktoré leži v ľubovoľnom okolí bodu 0 a zároveň nie je rovné 0.
[[Kategória:Teória množín]]
[[de:Häufungspunkt]]
[[en:Limit point]]
[[es:Punto de acumulación]]
[[fr:Valeur d'adhérence]]
[[ko:극한점]]
[[it:Punto di accumulazione]]
[[he:נקודת הצטברות]]
[[nl:Ophopingspunt]]
[[pt:Ponto limite]]
[[ro:Punct de acumulare (matematică)]]
[[ru:Предельная точка]]
[[fi:Kasautumispiste]]
[[sv:Hopningspunkt]]
[[vi:Điểm giới hạn]]
[[zh:极限点]]
| |||