Iracionálne číslo: Rozdiel medzi revíziami

 

Už starovekí grécki geometri vedeli, že [[dĺžka|dĺžky]] niektorých [[úsečka|úsečiek]] sa k sebe nemajú ako žiadne dve celé kladné čísla. To sa dá v jazyku modernej matematiky ekvivalentne formulovať tak, že [[pomer]] dĺžok týchto úsečiek je iracionálne číslo. Medzi takéto dvojice úsečiek patria napríklad strana a uhlopriečka [[štvorec|štvorca]] alebo strana a diagonála [[pravidelný päťuholník|pravidelného päťuholníka]]. Takýmto dvojiciam dĺžok Gréci hovorili ''nesúmeratelné dĺžky''.

 

Pojem iracionálneho čísla tak ako ho používame dnes, bol zavedený oveľa neskôr. [[Adjektívum]] ''iracionálne'' poukazuje iba na to, že takéto čísla nie sú racionálne v zmysle definície.

 

*iracionálne čísla sú [[Husto usporiadaná množina|husto usporiadané]]

*množina iracionálnych čísel je [[nespočítateľná množina|nespočítateľná]]

*všetky [[transcendentné číslo|transcendentné čisla]] sú iracionálne

 

Dokazujeme [[dôkaz sporom|sporom]]. Predpokladáme, že <math>\sqrt 2</math> je racionálne číslo. To znamená, že existujú [[celé číslo|celé čísla]] <math>p</math> a <math>q</math> také, že

:<math>\frac{p}{q}=\sqrt 2</math>

Takto sme dokázali, že <math>p</math> aj <math>q</math> sú párne čísla a teda číslo 2 je ich [[spoločný deliteľ|spoločným deliteľom]]. Ale to je spor s predpokladom, že <math>p</math> a <math>q</math> sú nesúdeliteľné.

 

*[[Racionálne číslo]]

*[[Transcendentné číslo]]

 

* P. Vopěnka, ''Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci''. PRÁH 2003. ISBN 80-7252-022-9 (K histórii objavu nesúmerateľných dĺžok.)

 

[[fa:عدد گنگ]]

[[fi:Irrationaaliluku]]

[[fr:Nombre irrationnel]]

[[gl:Número irracional]]