Vektorový priestor: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
redir |
Bez shrnutí editace |
||
Riadok 1:
'''Lineárny priestor''' alebo '''vektorový priestor''' je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania [[algebra]]ickej disciplíny [[lineárna algebra]].
"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný [[matematický objekt]] spĺňajúci nasledujúce [[axióma|axiómy]] vektorového priestoru; napríklad [[polynóm]]y stupňa ≤''n'' s [[reálne číslo|reálnymi]] koeficientami z vektorového priestoru.
== Definícia ==
Nech ''F'' je [[pole]]. Nech ''V'' je [[množina]], na ktorej je daná [[binárna operácia]] "+", a nech je každému <math>c \in F</math>, <math>\alpha \in V</math> priradený prvok <math>c.a \in V</math>, pričom:<br />
: 1) <math>(V,+)</math> je [[komutatívna grupa]]
pre ľubovoľné <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> <math>\in</math> ''V'' a ''c'',''d'' <math>\in</math> ''F'' platí:
: 2) <math>c.(\alpha + \beta) = c.\alpha + c.\beta</math> (distributívny zákon)
: 3) <math>(c + d).\alpha = c.\alpha+d.\alpha</math>
: 4) <math>(c.d).\alpha = c(d.\alpha)</math> ([[asociativita]])
: 5) <math>1.\alpha = \alpha</math>
potom <math>V</math> je vektorový priestor nad poľom <math>F</math>.
== Lineárne Priestory vo Fyzike ==
=== Bra-Ket Formalizmus ===
[[Vektor (matematika)|Vektory]] <math>\mid\alpha_i\rangle</math> tvoria '''lineárny priestor''' (alebo '''vektorový priestor'''), ak ich ľubovoľná [[lineárna kombinácia]]
<math>\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle</math>
patrí taktiež do tohoto priestoru.
Pri aplikáciách v [[kvantová mechanika|kvantovej mechanike]] môžu byť koeficienty <math>\lambda_i</math> [[komplexné číslo|komplexné čísla]].
Priestoru [[ket-vektor]]ov je antilineárne priradený duálny priestor [[bra-vektor]]ov:
<math>\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle \rightarrow \sum_i\langle\alpha_i\mid\lambda_i^*</math>,
kde hviezdička <math>*</math> označuje [[komplexné združenie]]. V konkrétnom prípade [[vlnová mechanika|vlnovej mechaniky]] sú [[ket-vektor]]y <math>\mid\alpha_i\rangle</math> [[vlnová funkcia|vlnové funkcie]] <math>\phi_i</math> a bra-vektory <math>\langle\alpha_i\mid</math> sú komplexne združené [[vlnová funkcia|vlnové funkcie]] <math>\psi_i^*</math>.
[[Skalárny súčin]]
<math>\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle</math>
je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu [[ket-vektor]] <math>\mid\alpha\rangle</math> a [[bra-vektor]] <math>\langle\alpha^'\mid</math>. Skalárny súčin je [[komplexné číslo]] a má tú vlastnosť, že
<math>\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*</math>.
Dôsledkom toho je, že <math>\langle\alpha\mid\alpha\rangle</math> je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:
<math>\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0</math>.
Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že <math>\langle\alpha\mid\alpha\rangle</math> zodpovedá druhej mocnine dĺžky [[Vektor (matematika)|vektoru]] <math>\mid\alpha\rangle</math>.
V konkrétnom vyjadrení [[vlnová mechanika|vlnovej mechaniky]] zodpovedá [[skalárny súčin]] integrálu
<math>\int \psi^{'*}\psi,dx</math>, ktorý má zjavne vlastnosť <math>\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*</math>, rovnako ako
<math>\int \psi^{*}\psi,dx</math> má vlastnosť <math>\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0</math>, pretože <math>\psi^*\psi=\mid\psi\mid^2</math> je kladné.
Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. [[paprsková reprezentácia|paprskovej reprezentácii]]. To znamená, že <math>\mid\alpha\rangle</math> a <math>\lambda\mid\alpha\rangle</math> vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové [[komplexné číslo]] <math>\lambda</math>.
[[Kategória:Lineárna algebra]]
{{Link FA|ca}}
{{Link GA|en}}
| |||