Matematická indukcia: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d odstránenie starej šablóny {{Link FA}} a {{Link GA}} |
rozšírenie - Všetky kone majú rovnakú farbu+ pridanie slovíčok báza a indukčný krok k pôvodnému príkladu (didaktickosť) |
||
Riadok 19:
===Dôkaz===
'''Báza:'''
Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre ''n'' = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.
'''Indukčný krok:'''
Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre ''n'' = ''m'', platí aj pre ''n'' = ''m'' + 1.
Řádek 51 ⟶ 57:
# Ak platí pre 2, platí aj pre 3
# ...
==Všetky kone majú rovnakú farbu==
Všetky kone majú rovnakú farbu je [[paradox]], ktorý vznikne z nesprávneho použitia matematickej indukcie. Bol predstavený maďarským matematikom [[Georgom Pólya|George Pólya]]<ref>{{cite book|last=Pólya |first=George |authorlink=George Pólya |date=1954 |title=Induction and Analogy in Mathematics}}</ref>. Ukazuje na chyby, čo môžu nastať pri dôkazoch matematickou indukciou.
===Argument===
Chceme dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu.
'''Báza:'''
Pre <math>n= 1</math> to zjavne platí. Ak máme v skupine jedného koňa, tak má celá skupina rovnakú farbu a to farbu toho jednáho koňa.
'''Indukčný krok:'''
Predpokladáme, že výrok platí pre <math>n</math> koní a chceme ho dokázať pre <math>n+1</math> koní. Kone si očíslujeme <math>1,2,3,...,n+1</math>, kde farba i-teho koňa je <math>f_i</math>. Pozrieme sa na farbu prvých <math>n</math> koní <math> f_1,f_2,...,f_n </math>. Podľa indukčného predpokladu môžeme usúdiť, že sú všetky rovnakej farby. Teraz sa pozrieme na farbu koní <math>f_2,f_3,f_4,...,f_{n+1}</math>. Tých koní je <math>n</math>, takže znova použijeme indukčný predpoklad a môžeme povedať, že aj tie sú všetky rovnakej farby. Keďže vieme, že <math> f_1=f_2=f_3...=f_n </math> a zároveň aj <math> f_2=f_3=f_4=...=f_{n+1}</math>, môžeme povedať, že <math> f_1=f_{n+1} </math>.
Teraz sme dokázali, že ak výrok platí pre <math>n</math> tak platí pre <math>n+1</math>.
Výrok platí pre <math>n =1</math>.
Výrok platí pre všetky kladné celé čísla.
Každá podmnožina koní má navzájom rovnakú farbu.
Koní je konečný počet.
Všetky kone majú rovnakú farbu.
===Vysvetlenie===
V indukčnom kroku (od <math>n</math> do <math>n+1</math>) sa predpokladá, že <math>n \ge 2</math>. Indukcia by platila iba keby bola báza dokázaná pre že <math>n \ge 2</math>
==Referencie==
{{referencie}}
[[Kategória:Matematická logika]]
| |||