Skladanie funkcií: Rozdiel medzi revíziami

Majme [[funkcie]] ''f'' f : ''X'' → ''Y''{{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} a ''g''  g : ''Y'' → ''Z'' {{math|''g'' : ''Y'' → ''Z''}} (t.j. [[obor hodnôt]] prvej funkcie je rovnaký ako [[definičný obor]] druhej funkcie). Potom zložením funkcií ''f'' a ''g'' je nová funkcia g ∘ f : X → Z, definovaná predpisom (g ∘ f )(x) = g(f(x)). Teda výsledok prvej funkcie použijeme ako vstup pre druhú funkciu.

: (''f'' ∘ ''g'')(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) = ''f''(''x''^{^3}) = 2''x''^{2x^3} + 4, a

* Ak je výška lietadla v čase  ''t''{{math|''t''}}  daná funkciou  ''h''(''t)''), a koncentrácie kyslíka v nadmorskej výške  ''x''{{math|''x''}} je daná funkciou  ''c''(''x)''), tak zložená funkcia  (''c'' ∘ ''h'')(''t'') predstavuje [[Koncentrácia|koncentráciu]] kyslíka okolo lietadla v čase ''t''{{math|''t''}}.

Zloženie funkcií je vždy [[Asociatívnosť|asociatívne]] — túto vlastnosť má [[skladanie relácií]] vo všeobecnosti. To znamená, že ak ''f''{{math|''f''}}, ''g''{{math|''g''}} a ''h''{{math|''h''}}  sú tri funkcie (s vhodne zvolenými definičnými obormi a obormi hodnôt), tak nezáleží na tom, či naskôr zložíme ''g'' a ''h'' a potom zložíme ''f s ''výsledkom, alebo najskôr zložíme ''f'' a ''g'', a výsledok s ''h'' — v oboch prípadoch bude výsledok rovnaký. Symbolicky to môžeme napísať:  ''f'' ∘ (''g'' ∘ ''h''g ∘ h) = (''f'' ∘ ''g''f ∘ g) ∘ ''h''{{math|1=''f'' ∘ (''g'' ∘ ''h'') = (''f'' ∘ ''g'') ∘ ''h''}}.  Podobne to platí aj vtedy, keď skladáme viac ako 3 funkcie: na poradí (na uzátvorkovaní) nezáleží. Preto môžeme zátvorky vynechať.

Zloženie dvoch [[Prosté zobrazenie|injektívnych (prostých) zobrazení]] je opäť injektívne. Podobne zloženie dvoch surjektívnych zobrazení je vždy [[Surjektívne zobrazenie|s]]<nowiki/>urjektívne. Z toho vyplýva, že zložením dvoch [[Bijektívne zobrazenie|b]]<nowiki/>ijekcií je tiež bijekcia. [[Inverzné zobrazenie (funkcia)|Inverzná funkcia]] ku zloženiu dvoch funkcií (ak sa dá invertovať) má vlastnosť, že  (''f'' ∘ ''g''f ∘ g)^-1−1 = ( ''g''^-1 g−1 ∘ ''f'' ^-1f −1).<ref name="Rodgers2000">{{Citácia knihy|isbn=978-0-471-37122-9}}</ref>