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'''Sférická sústava súradníc''' '''(guľová sústava súradníc)''' je [[Sústava súradníc|sústava súradníc]] v priestore, u ktorej jedna súradnicesúradnica (označovaná <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>r</math> <math>r</math> </img> <span></span> ) Udáva [[vzdialenosť]] [[Bod (geometria)|bodu]] od počiatku súradníc, druhá súradnice (označovaná <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\varphi</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>\varphi</math> <math>\varphi</math> </img> <span></span> ) Udávaudáva [[uhol]] odklonu sprievodič bodu od osi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>x</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>x</math> <math>x</math> </img> <span></span> a tretie súradnice (označovaná <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\theta</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>\theta</math> <math>\theta</math> </img> <span></span> ) Uhol medzi sprievodičom a osou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>z</math> . </mispan></mstylespan></mrowspan> </mathspan><mathspan>z</mathspan> <mathspan>z</mathspan> </img> <span></span> .
[[Súbor:Spherical_with_grid.svg|vpravo|náhľad|350x350bod| Bod vo sférické sústave súradníc. ]]<span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><span></span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> </math><span></span>
S:
[[Súbor:Spherical_with_grid.svg|vpravo|náhľad|350x350bod| Bod vo sférické sústave súradníc. ]]
Transformácia '''sférických súradníc''' na karteziánske: <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi><mo> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mo><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi><mo> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi></mrow><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi><mo> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </mi></mrow></mstyle></mrow> </math><math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> <math>x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi><mo> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mo><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi><mo> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi></mrow><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi><mo> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </mi></mrow></mstyle></mrow> </math><math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> <math>y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mi><mo> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mo><mi> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mi><mi> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mi><mo> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </mi></mrow></mstyle></mrow> </math><math>z = r \cos{\theta}\,</math> <math>z = r \cos{\theta}\,</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
Prevod [[Karteziánska sústava súradníc (v najužšom zmysle)|karteziánskych súradníc]] na '''sférické:''' <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mi><mo> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><msup><mi> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mo><msup><mi> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mo><msup><mi> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mn></mrow></msup></msqrt></mrow><mo> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </mo></mstyle></mrow> </math><math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> <math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mi><mo> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo><mi> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mi><mo> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo><mo stretchy="false"> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo><mi> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mi><mo> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo><mi> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mi><mo stretchy="false"> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo><mo> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </mo></mstyle></mrow> </math><math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> <math>\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mi><mo> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mo><mi> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mi><mo> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mo><mrow><mo> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mi><mi> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mi></mfrac></mrow><mo> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mo></mrow><mo> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </mo></mstyle></mrow> </math><math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> <math>\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),</math> </img> <span></span><br /><br /><br /><br /> <nowiki></br></nowiki>
kde arctg2 <nowiki><i id="mwNw">(x,</i></nowiki> <nowiki><i id="mwOA">y)</i></nowiki> je zovšeobecnenie [[Zobrazenie (matematika)|funkcia]] [[Arkustangens|arkus tangens]] . Uhly volíme v rozsahu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mn> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </mn><mo> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </mo><mi> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </mi><mo> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </mo><mi> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>0\leq\theta\leq\pi</math> <math>0\leq\theta\leq\pi</math> </img> <span></span> a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mn> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mn><mo> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mo><mi> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mi><mo> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mo><mn> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mn><mi> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>0\leq\varphi<2\pi</math> <math>0\leq\varphi<2\pi</math> </img> <span></span> .
Jakobián transformácia z karteziánske do sférické sústavy súradníc :
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mi><mo> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mo><msup><mi> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mn></mrow></msup><mi> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mi><mo> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mo><mi> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>J= r^2 \sin \theta </math> <math>J= r^2 \sin \theta </math> </img> <span></span>
<nowiki></br></nowiki> Dĺžka infinitesimální úsečky sa spočíta ako
: <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi></mrow><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi></mrow><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mo><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi></mrow><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mo><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mo><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi></mrow><msup><mi> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mn></mrow></msup><mo> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </mo></mstyle></mrow> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> </math><math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> <math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.</math> </img> <span></span>
[[Objem (matematika)|Objem]] infinitesimálního elementu priestoru spočítame ako
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi></mrow><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mo> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mo><msup><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mn></mrow></msup><mrow><mo> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mo><mrow><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mo> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mo><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi></mrow><mo> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mo></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi></mrow><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi></mrow><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="normal"> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi></mrow><mi> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mi><mo> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </mo></mstyle></mrow> </math><math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> <math>\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,</math> </img> <span></span>
== externé odkazy ==
<nowikibr />
[[Kategória:Sústavy súradníc]]
[[Kategória:Stránky s nekontrolovanými překlady]]</nowiki>
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