Okruh (algebra): Rozdiel medzi revíziami

 

Na množine [[celé číslo|celých čísel]] definujeme klasickým spôsobom [[binárna operácia|binárnu operáciu]] [[sčítanie]]. Celé čísla tvoria vzhľadom na sčítanie [[abelovská grupa|abelovskú grupu]]. No na tejto množine vieme definovať aj [[násobenie]], ktoré je so sčítaním zviazené [[distributívny zákon|distributívnym zákonom]]. Podobných štruktúr poznáme veľmi veľa (pozri aj sekciu Príklady) a je tak výhodné urobiť ich abstrakciu a študovať ich všetky naraz.

 

== Definícia ==

''Okruh'' je usporiadaná trojica (''M'', +, *), kde

* ''M'' je ľubovoľná [[množina]], + a * sú binárne operácie na M,

 

== Jednoduché vety ==

Nie je ťažké dokázať, že v každom okruhu platia nasledujúce vzťahy:

* <math>a0=0a=0</math>

* <math>(-a)b=a(-b)=-ab</math>

 

== Príklady ==

* celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (posledné tri sú polia),

* [[kvaternióny]] vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (tvoria teleso),

 

== Konštrukcia nových okruhov zo starých ==

Nech je daný okruh (''A'', +, *). Hovoríme, že (''B'', +', *') je ''podokruh'' okruhu ''A'', ak

* <math>B\subseteq A</math>,