Eliptický valec

Eliptický valec je v eulidovskej geometrii 3-rozmerný priestorový útvar, ktorý má namiesto bežnej kruhovej podstavy, podstavu eliptickú. Na rozdiel od valca s kruhovou podstavou, eliptický valec nemožno vykonštruovať rotáciou. Jedná sa o objekt s kvadratickým povrchom. Polovičný výsek eliptického valca ktorého predná stena začína na tečne polos $a$ a $b$ teda v bode $S$ a pokračujúc priamo s polosou $b$, je paraboloidný valec. Za určitých podmienok je z geometrického hľadiska paraboloidný valec, presnou polovicou eliptického valca.

Súradnice eliptického valca

Súradnice eliptického valca sú založené na 3-rozmerných ortogonálnych súradniciach v euklidovskom priestore, čo znamená, že oproti 2D súradniciam elipsy, má eliptický valec namiesto rozmerov $x$ a $y$, tri rozmery $x$, $y$ a $z$. Bežná definícia ortogonálnych súradníc eliptického valca je:

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$

$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$

$z=z$

kde:

$\mu$ je nezáporné reálne číslo

$\nu \in [0,2\pi ]$

Obsah plášťa a obvod podstavy

Vzorec č.1:

$A_{L}=4ahE({\sqrt {1-({\frac {b}{a}})^{2}}})$

Vzorec č.2:

$A_{L}=O\cdot h$

kde:

$a$ a $b$ sú hlavné a vonkajšie polosi

$h$ je výška

$O$ je obvod podstavy (elipsy) ktorý vypočítame ako:

$O=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}sin^{2}\theta d\theta }}\quad$ kde $e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$ je číselná excentricita elipsy a funkcia $E$ je druhý kompletný eliptický integrál

Alebo ho vypočítame ako:

$O\approx \pi ({\frac {3}{2}}(a+b)-{\sqrt {ab}})$

$E(k)$ je druhý kompletný eliptický integrál ktorý vypočítame ako:

$E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}sin^{2}\theta d\theta }}\quad$ kde $k=sin\alpha$

Objem a povrch

$V=\pi abh$

$A_{T}\thickapprox 2\pi ab+\pi h[{\frac {3}{2}}(a+b)-{\sqrt {ab}}]$

$A_{T}=A_{L}+2\pi ab$

$A_{T}=2A+A_{L}$

kde:

$A$ je obsah podstavy (elipsy)

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Elliptic cylindral coordinates na anglickej Wikipédii. Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Ellipse na anglickej Wikipédii. Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Elliptic integral na anglickej Wikipédii.