Extrém (funkcia)
Extrém je hodnota funkcie, ktorá má tú vlastnosť, že je buď najmenšia alebo najväčšia spomedzi všetkých funkčných hodnôt na určitom intervale. Extrémy funkcie sa rozlišujú na lokálne a globálne.
Lokálne extrémy upraviť
Lokálne minimum upraviť
Lokálne minimum je najmenšia hodnota, ktorú funkcia nadobúda na nejakej podmnožine jej definičného oboru .
Lokálne maximum upraviť
Lokálne maximum je opak lokálneho minima, teda najväčšia hodnota, ktorú daná funkcia nadobúda na určitej podmnožine jej definičného oboru.
Globálne extrémy upraviť
Globálne minimum upraviť
Globálne minimum je najmenšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.
Globálne maximum upraviť
Globálne maximum je najväčšia funkčná hodnota, spomedzi všetkých funkčných hodnôt funkcie na jej definičnom obore.
Hľadanie extrémov funkcie upraviť
Funkcia môže mať extrém v bode vtedy, ak je v danom bode derivácia funkcie nulová. Teda platí
Ak , potom ide o lokálne maximum.
Ak , potom ide o lokálne minimum.
Ak , potom ide o tzv. sedlový, resp. inflexný bod, a tu sa lokálny extrém nenachádza.
Príklad 1 upraviť
Pri hľadaní extrémov funkcie treba najprv funkciu zderivovať. Deriváciou vznikne funkcia . Extrém môže byť v tom bode, v ktorom je derivácia danej funkcie nulová, a teda
Druhá derivácia v bode -2 je kladná, preto má daná kvadratická funkcia v bode -2 minimum.
Príklad 2 upraviť
Prípad, kedy je derivácia v bode nulová, ale nie je tam extrém, je funkcia , jej derivácia je . Možný extrém je v bode 0, pretože , ale funkcia je na celom intervale stúpajúca, takže sa v tom bode nemôže extrém nachádzať.