Greenove identity

Greenove identity sú a súbor troch identít vo vektorovej analýze. Sú pomenovné po matematikovi Georgovi Greenovi, ktorý objavil Greenovu vetu.

Prvá Greenova identita

Táto identita je odvodená z Gaussovej vety aplikovanej na vektorové pole $\mathbf {F} =\psi \nabla \phi$: Ak platí, že φ má spojitú druhú deriváciu, a ψ má spojitú prvú deriváciu, na množine U, potom:

$\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\phi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}\right)\,dS-\int _{U}\left(\nabla \phi \cdot \nabla \psi \right)\,dV$

Druhá Greenova identita

Ak φ a ψ majú obe spojité druhé derivácie na U, potom:

$\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS$

Tretia Greenova identita

Greenova tretia identita je odvodená z druhej ak položíme $\phi (.)={1 \over |\mathbf {x} -.|}$ a $\nabla ^{2}\phi =-4\pi \delta \left(\mathbf {x} -.\right)$ v R³: Ak ψ má spojitú druhú deriváciu na U .

$\oint _{\partial U}\left[{1 \over |\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial \over \partial n_{\mathbf {y} }}{1 \over |\mathbf {x} -\mathbf {y} |}\right]\,dS_{\mathbf {y} }-\int _{U}\left[{1 \over |\mathbf {x} -\mathbf {y} |}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }=k$

k = 4πψ(x) ak x ∈ leží v U, 2πψ(x) ak x ∈ ∂U a má dotyčnicu v x, nule a všade inde.