Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR)

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu tvaru

$y'(x)+p(x)y(x)=q(x),$

kde $p,q$ sú zadané funkcie. Takáto rovnica sa zvykne volať nehomogénna alebo aj rovnica s pravou stranou. V tomto prípade totiž nejde o ozajstnú lineárnu rovnicu v zmysle, že by lineárna kombinácia jej riešení bola znova riešením. Takú vlastnosť máme jedine ak pravá strana (zdrojový člen) je identicky rovná nule. V tom prípade hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici prvého rádu.

Riešenie homogénnej rovnice

$y'(x)+p(x)y(x)=0\ \Rightarrow \ {\frac {{\rm {d}}y}{y}}=-p(x){\rm {d}}x\ \Rightarrow \ y(x)=\exp \left(-\int p(x){\rm {d}}x\right).$

Riešenie nehomogénnej rovnice

Pôvodnú nehomogénnu rovnicu vyriešime tzv. metódou variácie konštanty, riešenie predpokladáme v tvare

$y(x)=z(x)\exp(-\int p(x){\rm {d}}x),$

čo po dosadení vedia na podmienku pre funkciu $z$ (variovanú konštantu) v tvare

$z'(x)=q(x)\exp(\int p(x){\rm {d}}x)\ \Rightarrow \ z(x)=\int {\rm {d}}x\exp \left(\int p(x){\rm {d}}x\right),$

a teda pre riešenie pôvodnej rovnice máme

$y(x)={\frac {\int {\rm {d}}x\exp \left(\int p(x){\rm {d}}x\right)}{\exp(\int p(x){\rm {d}}x)}}.\!$