Redaktor:Quantum 800/pieskovisko

Sumácia, resp. sčítanie je jednou z matematických operácií. Sumácia je sčítanie postupností akýchkoľvek čísel, funkcií, vektorov, matíc či polynómov, pričom výsledkom tohto sčítania je súčet. Sumácia nekonečne dlhá je rad.

Značenie

Malý počet prvkov je možné sumáciou zapísať ako súčet jednotlivých prvkov za sebou. Napríklad sumácia čísel 1, 2, 3 a 5 je 1+2+3+5 = 11, pričom 11 je suma, a teda výsledná hodnota sumácie. Sčítavanie je asociatívne, nezáleží, teda na tom či zapíšeme sumáciu 1+2+3+5 ako, 1+(2+3+5) či (1+2)+3+5, keďže suma bude rovnaká vo všetkých prípadoch a ani zátvorky niesu nutné. Súčet konečného počtu čísel je komutatívny, čiže zmena poradia členov sumácie nemý vplyv na konečný výsledok.

Pokiaľ sumácia obsahuje príliš mnoho členov, je možné ju zapísať aj pomocou troch bodiek. Napríklad sumácia všetkých prirodzených čísel od 1 do 50 vrátane 1 a 50 môžeme skrátene zapísať ako 1+2+3+...+50 = 1275.

Znak

Aby sme mohli sumáciu zjednodušiť, musíme použiť zápis na to určený. Používa sa k tomu veľké grécke písmeno sigma $\sum$. Základná definícia je:

$\sum _{k=m}^{n}x_{k}=x_{m}+x_{m+1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}$

Index k je dolný index a v tomto značení označuje koreň sumácie, laicky povedané, od ktorého čísla má sumácia začať, no miesto k sa môžu použiť aj iné písmena napr. i, j... Malé m je v tomto prípade číslo, od ktorého začína sumácia. Malé n je horný index a označuje horný limit sumácie, teda, kde sumácia končí. Dolný index sa viaže na x, pričom sa jeho hodnota neustále zväčšuje o 1 až k dosiahnutiu limitu. Praktický príklad:

$\sum _{k=1}^{50}k=1+2+\cdots +49+50=1275$

$\sum _{k=1}^{7}k^{2}=1^{2}+2^{2}+\cdots +7^{2}=140$

Zápis sumácie môžeme vyjadriť aj pomocou podmienok, ktorým musí vyhovovať sumačný index. Do sumy tak môžu byť zahrnuté len tie členy, ktoré odpovedajú indexu vyhovujúcom zadanej podmienke, napr.:

$\sum _{0\leq k\leq 20}f(k)$ je suma všetkých f(k) pre dané korene k, ktoré vyhovujú podmienke.

$\sum _{x\in S}f(x)$ je suma všetkých funkcií f(x) cez všetky prvky x množiny S, kde S je indexová množina.

Pokiaľ sa súčasne robí viacero sumácií, je možné použiť zjednodušený zápis pomocou jediného sumačného znaku:

$\sum _{\ell ,\ell '}$ pričom je to rovnaké ako $\sum _{\ell }\sum _{\ell '}$.

Výpočetná technika

$\sum _{k=1}^{n}c=nc$, napr.: $\sum _{k=1}^{10}3=30$

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$ napr. $\sum _{k=1}^{14}k={\frac {14\cdot 15}{2}}=105$

$\sum _{k=1}^{n}2k=n(n+1)$ napr. $\sum _{k=1}^{10}2k=10\cdot 11=110$

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ napr. $\sum _{k=1}^{20}(2k-1)=20^{2}=400$

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ napr. $\sum _{k=1}^{9}k^{2}={\frac {9\cdot 10\cdot 19}{6}}={\frac {1710}{6}}=285$

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$ napr. $\sum _{k=1}^{9}k^{3}=\left({\frac {90}{2}}\right)^{2}=45^{2}=2025$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ napr. $\sum _{k=1}^{9}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {9}{10}}=0,9$

$\sum _{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1$ napr. $\sum _{k=1}^{9}k\cdot k!=10!-1=3628799$

Rámánudžanova sumácia: $\sum _{k=1}^{\infty }k=-{\frac {1}{12}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=e$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} \!x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\Delta x\cdot f(x_{k})$,

kde: $\Delta x={\frac {b-a}{n}}$ a $x_{k}=a+\Delta x\cdot k=a+{\frac {b-a}{n}}\cdot k={\frac {an+bk-ak}{n}}$, takže:

$\int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} \!x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}\cdot f\left({\frac {an+bk-ak}{n}}\right)$

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Summation na anglickej Wikipédii.

[[Kategória:Matematika]]