Boolova algebra: Rozdiel medzi revíziami

BooleovaBoolova algebra je definovaná ako distributívny komplementárny [[zväz (matematika)|zväz]].

BooleovaBoolova algebra je [[usporiadaná množina|šestica]] (''A'', ∧, ∨, −, 0, 1), kde ''A'' je neprázdna [[množina]], 0 ∈ ''A'' je [[najmenší prvok|najmenší]], 1 ∈ ''A'' [[najväčší prvok]], − je unárna operácia ([[komplement]]) a ∧, ∨ sú binárne operácie ([[priesečník]], [[spojenie]]) na ''A'', spĺňajúce nasledujúce [[axióm]]y.

Pre BooleovuBoolovu algebru ''A'' a každé ''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''A'' platí:

Existujú najmenej tri najznámejšie tradície v označovaní v teórii BooleovejBoolovej algebry. Vo vyššie použitej definícii sú použité symboly <math>\lor,\land,\lnot</math>, ale bežne sú používané tiež <math>\cup,\cap,\sim</math>, a na bežné použitie tiež <math>+,\cdot,-</math>. Symboly dvojargumentovýh operácií BooleovejBoolovej algebry sú takmer vždy výberom jedného z páru <math>(+,\cdot)</math>, <math>(\lor,\land)</math> alebo <math>(\cup,\cap)</math>. Označenie operácií jednoargumentowej algebry je menej, v dôsledku toho sa môžeme stretnúť ako so symbolmi <math>+,\cdot,\sim</math> tak aj <math>\lor,\land,{}^\prime</math>.

* Najjednoduchšia BooleovaBoolova algebra obsahuje len jeden prvok, alebo 0 = 1 (tu nejde o spor, ale o dvojité označovanie jedného [[prvok množiny|prvku]]). Všetky [[operácia (matematika)|operácie]] dávajú rovnaký výsledok (iné tu ani neexistujú), preto sa nazýva triviálne. Táto algebra samozrejme môže existovať jedine vtedy, keď sa vypustí Axiom nedegenerovanosti.

=== Používané BooleovyBoolovy algebry ===

Najvýznamnejšími príkladmi BooleovýchBoolových algebier sú algebry výrokov (alebo všeobecnejšie [[Lindenbaumova algebra|Lindenbaumovej algebry]] [[formula (logika)|formulí]]) a množinové algebry.