Goldbachova domnienka: Rozdiel medzi revíziami

V liste z 30. júna 1742, Euler napísal:<blockquote class="" style="">{{vjz|deu|„''Dass … ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.''“}} ("To ... že každé párne číslo je súčet dvoch prvočísel považujem za úplne zaručene pravdivé, hoci to neviem dokázať.")<ref name="theorema">{{cite web|last=Ingham|first=AE|title=Popular Lectures|year=|url=http://www.claymath.org/Popular_Lectures/U_Texas/Riemann_1.pdf|format=PDF|accessdate=2009-09-23}}</ref><ref name="PrimeGlossary">{{cite web|last=Caldwell|first=Chris|title=Goldbach's conjecture|year=2008|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=goldbachconjecture|accessdate=2008-08-13}}</ref></blockquote> Práve táto tretia verzia má tvar, v ktorom sa domnienka formuluje dnes. Je tiež známa ako „silná“, „párna“, alebo „binárna“ Goldbachova domnienka, keď ju chceme odlíšiť od slabšieho tvrdenia, dnes známeho ako „slabá“ Goldbachova domnienka, „nepárna“, alebo „ternárna“ Goldbachova domnienka. Táto slabá domnienka tvrdí, že ''všetky nepárne čísla väčšie ako 7 sa dajú vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel'', a zdá sa, že bola dokázaná v roku 2013.<ref name="Helfgott 2013">{{cite arXiv|eprint=1305.2897|title=Major arcs for Goldbach's theorem|last=Helfgott|first=H.A.|class=math.NT|year=2013}}</ref><ref name="Helfgott 2012">{{cite arXiv|eprint=1205.5252|title=Minor arcs for Goldbach's problem|last=Helfgott|first=H.A.|class=math.NT|year=2012}}</ref> Slabá domnienka vyplýva zo silnej, pretože ak ''n'' – 3 je súčet dvoch nepárnych prvočísiel, potom pridaním trojky dokážeme ''n''{{math|''n''}} vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel. Nie je známe, či platí aj opačná implikácia, teda či zo slabej domnienky vyplýva silná.

Pomocou [[Ivan Matvejevič Vinogradov|Vinogradovej]] metódy, Chudakov,<ref>{{Cite journal|last=Chudakov|first=Nikolai G.|year=1937|title=О проблеме Гольдбаха|trans-title=On the Goldbach problem|journal=Doklady Akademii Nauk SSSR|volume=17|pages=335–338|postscript=.}}</ref> Van der Corput,<ref>{{cite journal|last=Van der Corput|first=J. G.|title=Sur l'hypothèse de Goldbach|language=fr|journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam|volume=41|issue=|year=1938|pages=76–80|doi=|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016746.pdf}}</ref> a Estermann<ref>{{cite journal|last=Estermann|first=T.|title=On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes|journal=Proc. London Math. Soc.|series=2|volume=44|year=1938|issue=|pages=307–314|doi=10.1112/plms/s2-44.4.307}}</ref> ukázali, že takmer všetky párne čísla sa dajú zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (v tom zmysle, že podiel čísel, ktoré sa dajú zapísať sa pre ''n'' idúce do nekonečna blíži k 1). V roku 1930, [[Lev Genrichovič Šnireľman|Lev Schnirelmann]] ukázal,<ref>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol XIV (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[https://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "[//en.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Annalen Mathematische Annalen]" (in German), vol 107 (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref> že všetky [[Prirodzené číslo|prirodzené čísla]] väčšie než 1 sa dajú zapísať ako súčet najviac C prvočísiel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta (pozri [[Schnirelmannova hustota]]). Schnirelmannova konštanta je najmenšie číslo C s touto vlastnosťou. Schnirelmann sám dokázal, že C < 800,000. Tento výsledok postupne zlepšilo mnoho autorov, až Olivier Ramaré, ktorý v roku 1995 ukázal, že každé párne číslo ''n'' &#x20;≥&#x20;4 je v skutočnosti súčet najviac šesť prvočísiel. Najlepší známy výsledok v súčasnosti vyplýva z dôkazu slabej Goldbachovej domnienky Haralda Helfgotta<ref>{{cite arXiv|last=Helfgott|first=H. A.|eprint=1312.7748|class=math.NT|title=The ternary Goldbach conjecture is true|date=2013}}</ref>, z ktorej priamo vyplýva, že každé párne číslo ''n'' &#x20;≥&#x20;4 je súčet najviac štyroch prvočísiel.<ref>{{Cite journal|title=Checking the Goldbach Conjecture up to 4 10¹¹|last=Sinisalo|first=Matti K.|periodical=Mathematics of Computation|volume=61|issue=204|date=Oct 1993|pages=931–934|doi=10.2307/2153264|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-204/S0025-5718-1993-1185250-6/S0025-5718-1993-1185250-6.pdf}}</ref><ref>{{cite book|last=Rassias|first=M. Th.|title=Goldbach's Problem: Selected Topics|publisher=Springer|year=2017}}</ref>