Cauchyho postupnosť

Cauchyho postupnosť (iné názvy: fundamentálna postupnosť, cauchyovská postupnosť, bolzanovská postupnosť) je postupnosť bodov daného metrického priestoru, ktorej prvky sú k sebe od určitého miesta ľubovoľne blízko. Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská. Úplný metrický priestor sa definuje ako priestor, v ktorom je aj každá cauchyovská postupnosť konvergentná.

Definícia

Nech je daný metrický priestor $(X,d)$. Postupnosť $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ v $X$ sa nazýva Cauchyho, ak platí:

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n\in \mathbb {N} :\ m>N,n>N\implies d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .$