Diracova miera

Diracova miera je miera δ_x na množine X (so σ-algebrou všetkých podmnožín X), ktorá dáva množine {x} mieru 1, pre daný bod $x\in X$:

$\delta _{x}\left(\{x\}\right)=1.$

Vo všeobecnosti je táto miera definovaná

$\delta _{x}(A):={\begin{cases}0,&x\not \in A,\\1,&x\in A,\end{cases}}$

pre každú podmnožinu $A\subset X$.

Diracova miera je pravdepodobnostná miera. Diracove miery sú práve všetky extremálne body konvexnej množiny všetkých pravdepodobnostných mier na X.

Názov je odvodený od Diracovej funkcie delta.

Vlastnosti Diracovej miery

Nech δ_x značí Diracovu mieru v bode x merateľného priestoru (X, Σ).

• δ_x je pravdepodobnostná miera, a teda konečná.

Predpokladajme, že (X, T) je topologický priestor, a že Σ obsahuje všetky borelovské podmnožiny X.

• Ak X je Hausdorffov topologický priestor s borelovskou σ-algebrou, potom δ_x je vnútorne regulárna miera, keďže {x} je kompakt. Teda δ_x je Radonova miera.
• Ak {x} je uzavretá množina v topológii T, potom nosičom δ_x je {x}.

Pozri aj

• Diskrétna miera