Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, -funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Gama funkcia

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie : hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia upraviť

Funkciu definovanú pre   nasledovným predpisom:

 

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti  . Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem  , kde má póly.

Dôležité vzťahy upraviť

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

  •  
  •  
  •  
Špeciálne pre prirodzené čísla   budeme mať:
 
  • Pre prirodzené čísla   platí nasledovné:  
  •  
  •  

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla  , ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

 

kde   je Eulerova-Mascheroniova konštanta[1] .

Niektoré hodnoty upraviť

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

  (nedefinované)
   
  (nedefinované)
   
  (nedefinované)
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Referencie upraviť

  1. Gamma function [online]. http://functions.wolfram.com, [cit. 2019-07-29]. Dostupné online. (english)

Zdroj upraviť

  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.