L’Hospitalovo pravidlo

L’Hospitalove pravidlá alebo L'Hôpitalove pravidlá (vyslovuje sa lopitalove) slúžia na výpočet limít tzv. neurčitých výrazov typu a . Tieto pravidlá možno použiť tiež pri riešení neurčitých výrazov typu , , , alebo , ktoré však vhodnými úpravami prevádzame na neurčité výrazy typu alebo .

Ako prvý tieto pravidlá zverejnil Guillaume de l’Hospital v roku 1692. Tieto pravidlá však pravdepodobne boli známe už Johannovi Bernoullimu.

Znenie vetyUpraviť

Ak máme funkcie  , pre ktoré v bode c platí   a  , potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita  , platí

 

kde   označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie  , pre ktoré v bode c platí   a  . Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita  , potom opäť platí vzťah

 

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je   v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

Úprava výrazov pre použitie l’Hospitalovho pravidlaUpraviť

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu   alebo  . Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie  , ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo  .

  • Ak   predstavuje v c výraz  , potom ho môžeme upraviť na  , čo je výraz typu  , alebo na  , čo je výraz typu  .
  • Ak   predstavuje v c výraz typu  , potom ho možno upraviť na  , čo je výraz typu  .
  • Ak   predstavuje v c výraz typu  , potom ho upravíme na  , kde v exponente je výraz  , ktorý možno ďalej upraviť na výraz   alebo  . Pri riešení potom využijeme toho, že  .
  • Ak   predstavuje v c výraz typu  , potom ho upravíme na  , kde v exponente je výraz  , ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
  • Ak   predstavuje v c výraz typu  , potom ho upravíme na  , kde v exponente je výraz  , ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

PríkladyUpraviť

  • Výraz   predstavuje pre   neurčitý výraz typu  . Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude
 
  • Neurčitý výraz typu   prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel   alebo   získame tak neurčitý výraz typu   alebo  . Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.
 

Pozri ajUpraviť

ZdrojUpraviť

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.

Externé odkazyUpraviť