Lagrangeova veta (teória grúp)

Lagrangeova veta je základné tvrdenie z teórie grúp, ktorého dôsledkom je, že rád každého prvku či podgrupy delí rád grupy. To znamená, že napríklad grupa rádu 15 môže mať prvky rádu 1, 3, 5 a 15, ale nie napríklad 7. Veta nesie meno význačného matematika, Josepha Louisa Lagrangea.

Presné znenie upraviť


Pre grupu G a jej podgrupu H platí:  , kde |X| značí rád grupy X a [G:H] index grupy (počet ľavých cosetov H v G).

Dôkaz upraviť

Najskôr ukážeme, že ľavé cosety   tvoria dohromady pre   rozklad množiny G. Pretože  , nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak   pre nejaké  . Inými slovami pre nejaké   musí byť  . Vynásobením na pravej strane prvkom   dostaneme  . Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu  . Vzhľadom na definíciu podgrupy  , a preto  .  , pretože tiež  , a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali  , a preto  . Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre  . Definujme f predpisom  

  • Dôkaz injektivity: Predpokladajme  .  . Obe strany vynásobíme zľava prvkom      
  • Surjektivita je zrejmá z definície.

  značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva  .