Orientované stromy

Orientovaný strom

Definícia: Nech T = (V, H) je strom. Ak každej hrane stromu T priradíme práve jednu z dvoch možných orientácií, tak dostaneme orientovaný strom T.

Koreňový strom a koreň stromu

Nech Tv je orientovaný strom s aspoň dvoma vrcholmi, v ktorom z vrcholu „v“ existuje dráha do každého z ostatných vrcholov. Potom Tv nazývame koreňovým stromom a vrchol „v“ koreňom stromu.

Podstrom stromu

Ak T je orientovaný koreňový strom a „u“ je nejaký vrchol stromu T, potom podgraf T, ktorý vznikne tak, že zo stromu T vynecháme všetky vrcholy, do ktorých nevedie orientovaná cesta z vrcholu „u“ sa nazýva podstrom stromu T s koreňom „u“.

n-árny strom

Orientovaný koreňový strom sa nazýva n-árny strom, ak každý vnútorný vrchol tohoto stromu má práve n potomkov, inými slovami, každý vrchol n-árneho stromu má výstupný stupeň 0 alebo n. Špeciálne, n-árny strom s n = 2, sa nazýva binárny strom.

Koreňová kostra digrafu

Nech G je digraf, ktorý vznikol orientáciou grafu (multigrafu) G. Nech K je kostra grafu (multigrafu) G. Potom digraf K, ktorý vznikol orientáciou grafu K, sa nazýva orientovanou kostrou digrafu G.

Binárny strom

Binárnym stromom nazývame koreňový strom $T_{v}$ , v ktorom každý vrchol má vonkajší stupeň 0 alebo 2. Hĺbkou h1( $T_{v}$ ) binárneho stromu ( $T_{v}$ ) = (V, H) nazývame excentricitu jeho koreňa, t. j. $h_{1}(T_{v})=max_{u\in V}d(v,u)$ .

Kompletným binárnym stromom hĺbky k nazývame strom ( $T_{v}$ ), v ktorom je d(v, u) = k pre každý jeho list u.

Vety o binárnych stromoch

Veta 1. Pre ľubovoľné prirodzené číslo n > 1 existuje binárny strom s práve n listami (koncovými vrcholmi).

Veta 2. Binárny strom s n listami obsahuje n-1 vnútorných vrcholov (t. j. vrcholov, ktoré nie sú listami) a 2(n-1) hrán.

Veta 3. Nech E je vonkajšia a I vnútorná dĺžka binárneho stromu s n listami. Potom $E=I+2(n-1)$ .

Vonkajšia a vnútorná dĺžka binárneho stromu

Definícia. Nech $T_{v}=(V,H)$ je binárny strom. Vonkajšou dĺžkou E(Tv), resp. vnútornou dĺžkou I(Tv) binárneho stromu Tv nazývame čísla určené vzťahmi

$E(T_{v})=\sum _{u\in v}d(v,u)$ pre $u\in v_{e}$

$I(T_{v})=\sum _{u\in v}d(v,u)$ pre $u\in v_{i}$

kde v_e je množina listov a vi je množina vnútorných vrcholov binárneho stromu Tv.

B-strom

B-stromom nazývame orientovaný koreňový strom, v ktorom každý vrchol má vonkajší stupeň 0, 1 alebo 2 a ktorého hrany sú ohodnotené číslami 0 a 1 tak, že žiadne dve hrany vychádzajúce z toho istého vrcholu nemajú rovnaké ohodnotenie.

Perfektne vyvážený B-strom

Podmienku minimálnosti spĺňajú B-stromy, v ktorých pre každý vnútorný vrchol sa počet vrcholov jeho ľavom a pravom podstrome líši najviac o 1. Nazývame ich perfektne vyvážené B-stromy.