Otvoriť hlavné menu

V matematike sa pojmom podgrupa grupy G = (G, *) označuje grupa H = (H, *H), ak je H podmnožinou G a *H je podmnožinou operácie *.

V nasledujúcom texte sa namiesto zápisu a*b používa skrátené ab.

Základné vlastnosti podgrupUpraviť

  • Podgrupa je grupa
  • H je podgrupa grupy G, práve keď je neprázdna a je uzavretá na operáciu * (to znamená, že ak a, bH, potom abH) a na inverziu (tzn. ak aH, potom a-1H)
  • Neutrálny prvok v G sa rovná neutrálnemu prvku v H
  • Inverzný prvok v G sa rovná inverznému prvku v H

Osobitné prípady podgrupUpraviť

  • Každá grupa obsahuje dve tzv. nevlastné podgrupy (tiež triviálne podgrupy), seba samu a podgrupu obsahujúcu len neutrálny prvok (tá je vlastne zároveň triviálnou grupou).[1] Ostatné podgrupy označujeme ako vlastné (alebo netriviálne).
  • Ak je S ​​ podmnožina G, existuje najmenšia podgrupa grupy G obsahujúca S​​. Táto podgrupa sa značí <S> a volá sa podgrupa generovaná množinou S ​ (v prípade, že S​​ je jednoprvková, píšeme podgrupu ako <a> miesto <{a}>).
  • Zvlášť významné sú normálne podgrupy spĺňajúce  

ReferencieUpraviť

  1. BLAŽEK, Jaroslav; CALDA, Emil, aj. Algebra a teoretická aritmetika, I. díl. [s.l.] : Státní pedagogické nakladatelství, 1983.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Podgrupa na českej Wikipédii.