Podgrupa

V matematike sa pojmom podgrupa grupy G = (G, *) označuje grupa H = (H, *_H), ak je H podmnožinou G a *_H je podmnožinou operácie *.

V nasledujúcom texte sa namiesto zápisu a*b používa skrátené ab.

Základné vlastnosti podgrup

• Podgrupa je grupa
• H je podgrupa grupy G, práve keď je neprázdna a je uzavretá na operáciu * (to znamená, že ak a, b ∈ H, potom ab ∈ H) a na inverziu (tzn. ak a ∈ H, potom a^-1 ∈ H)
• Neutrálny prvok v G sa rovná neutrálnemu prvku v H
• Inverzný prvok v G sa rovná inverznému prvku v H

Osobitné prípady podgrup

• Každá grupa obsahuje dve tzv. nevlastné podgrupy (tiež triviálne podgrupy), seba samu a podgrupu obsahujúcu len neutrálny prvok (tá je vlastne zároveň triviálnou grupou). Ostatné podgrupy označujeme ako vlastné (alebo netriviálne).
• Ak je S ​​ podmnožina G, existuje najmenšia podgrupa grupy G obsahujúca S​​. Táto podgrupa sa značí <S> a volá sa podgrupa generovaná množinou S ​ (v prípade, že S​​ je jednoprvková, píšeme podgrupu ako <a> miesto <{a}>).
• Zvlášť významné sú normálne podgrupy spĺňajúce $\forall g\in G\quad g\cdot H\equiv \{g\cdot h,h\in H\}=\{h\cdot g,h\in H\}\equiv H\cdot g$

Referencie

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Podgrupa na českej Wikipédii.