Relácia ekvivalencie

Relácia ekvivalencie alebo jednoducho ekvivalencia je binárna relácia, ktorá je súčasne reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Definícia upraviť

Ak ~ je relácia na množine X, tak ide o reláciu ekvivalencie, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c množiny X platí:

  • a ~ a. (reflexívnosť)
  • Ak a ~ b, tak aj b ~ a. (symetrickosť)
  • Ak a ~ b a b ~ c, tak a ~ c. (tranzitívnosť)

Relácie ekvivalencie a rozklady upraviť

Relácie ekvivalencie sú v úzkom vzťahu s rozkladmi. Ak máme reláciu ~ na množine M, tak pre každý prvok   definujeme jeho triedu ako

 

Inak povedané, [a] je množina všetkých prvkov, ktoré sú v relácii s prvkom a.

Pre ľubovoľné dve triedy [a] a [b] platí buď [a]=[b] alebo  , t.j. dve rôzne triedy sú navzájom disjunktné. Zjednotenie všetkých tried je celá množina X. Teda množina

 

všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny X.[1]

Takto dostaneme z ľubovoľnej relácie ekvivalencie rozklad. Obrátene, z každého rozkladu množiny X sa dá vyrobiť zodpovedajúca relácia ekvivalencie na X. Dva prvky budú v relácii práve vtedy, keď ležia v tej istej triede rozkladu.[2]

Máme teda jednojednoznačnú korešpondenciu medzi rozkladmi množiny X a reláciami ekvivalencie na X.

Referencie upraviť

  1. Katriňák a kol. 1985, Veta 1.4.2, s. 25
  2. Katriňák a kol. 1985, Veta 1.4.3, s. 26

Literatúra upraviť

  • KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.