Relácia ekvivalencie
Relácia ekvivalencie alebo jednoducho ekvivalencia je binárna relácia, ktorá je súčasne reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Definícia
upraviťAk ~ je relácia na množine X, tak ide o reláciu ekvivalencie, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c množiny X platí:
- a ~ a. (reflexívnosť)
- Ak a ~ b, tak aj b ~ a. (symetrickosť)
- Ak a ~ b a b ~ c, tak a ~ c. (tranzitívnosť)
Relácie ekvivalencie a rozklady
upraviťRelácie ekvivalencie sú v úzkom vzťahu s rozkladmi. Ak máme reláciu ~ na množine M, tak pre každý prvok definujeme jeho triedu ako
![{\displaystyle [a]=\{x\in X;a\sim x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa1607d89278d8c382790dec7282092f0f46f3a)
Inak povedané, [a] je množina všetkých prvkov, ktoré sú v relácii s prvkom a.
Pre ľubovoľné dve triedy [a] a [b] platí buď [a]=[b] alebo , t.j. dve rôzne triedy sú navzájom disjunktné. Zjednotenie všetkých tried je celá množina X. Teda množina
![{\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b189d4ea02037cb1fe844eb615d8d1586ce47ea4)
![{\displaystyle \{[a];a\in X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae6162703a5fcdc6057db617e6442f9fce0cc9c)
všetkých tried ekvivalencie tvorí rozklad množiny X.[1]
Takto dostaneme z ľubovoľnej relácie ekvivalencie rozklad. Obrátene, z každého rozkladu množiny X sa dá vyrobiť zodpovedajúca relácia ekvivalencie na X. Dva prvky budú v relácii práve vtedy, keď ležia v tej istej triede rozkladu.[2]
Máme teda jednojednoznačnú korešpondenciu medzi rozkladmi množiny X a reláciami ekvivalencie na X.
Referencie
upraviť- ↑ Katriňák a kol. 1985, Veta 1.4.2, s. 25
- ↑ Katriňák a kol. 1985, Veta 1.4.3, s. 26
Literatúra
upraviť- KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.