Stirlingova aproximácia

Stirlingova approximácia, tiež nazývaná ako Stirlingova formula je približný vzťah na výpočet veľkých faktoriálov. Je pomenovaná po Jamesovi Stirlingovi, škótskom matematikovi.

Rýchlosť konvergencie (n ln n − n) ku (ln n!) pri rastúcom n: pri veľkom n je aproximácia veľmi presná

Zjednodušená (a menej presná aproximácia), znie takto:

$\ln(n!)\approx n\ln n-n+1.$

Táto aproximácia sa tiež nazýva po Stirlingovi. Presnejšie vyjadrenie Stirlingovej approximácie vyzerá takto:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Odvodenie

Nasledujúce odvodenie platí len pre zjednodušenú aproximáciu, ktorá je však väčšinou postačujúca. Namiesto toho, aby sme aproximovali n!, vyjadríme prirodzený logaritmus tohoto faktoriálu:

$\ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.$

Pravú stranu si musíme predstaviť ako určitý integrál zjednodušený podľa lichobežníkového pravidla. Ak by sme x-ovú os rozdelili po jednotkových intervaloch, tak ide vlastne o výpočet integrálu $\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx$ podľa lichobežníkového pravidla.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x$

$\int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=[x\ln(x)-x]_{1}^{n}=n\ln(n)-n+1$

Táto aproximácia je zaťažená chybou, ktorá sa dá odhadnúť na základe určitých pravidiel a jej započítanie vedie k presnejšej Stirlingovej formule.

Táto aproximácia je veľmi dôležitá v štatistike, keďže vo výrazoch na výpočet pravdepodobnosti často figurujú faktoriály. V štatistickej termodynamike sa vďaka nej dajú zo základných princípov odvodiť niektoré ďalšie vzorce.

Pozri aj

• Faktoriál
• Zmiešavacia entropia